Calcule as seguintes integrais. Justifique suas respostas. (a) ∫ x sen2 (3x) dx, (b) ∫ 2x+ 3 x2 + 6x+ 10 dx. (a) ∫ x sen2 (3x) dx (b) ∫ 2x+ 3 x2 + ...

(a) Para calcular a integral ∫x sen²(3x) dx, podemos usar integração por partes. Fazendo u = x e dv = sen²(3x) dx, temos du = dx e v = (3x/2) - (1/12)sen(6x). Então: ∫x sen²(3x) dx = uv - ∫v du ∫x sen²(3x) dx = x[(3x/2) - (1/12)sen(6x)] - ∫[(3x/2) - (1/12)sen(6x)] dx ∫x sen²(3x) dx = x[(3x/2) - (1/12)sen(6x)] - [(3/4)x² - (1/72)cos(6x)] + C Portanto, a resposta é ∫x sen²(3x) dx = x[(3x/2) - (1/12)sen(6x)] - [(3/4)x² - (1/72)cos(6x)] + C. (b) Para calcular a integral ∫(2x+3)/(x²+6x+10) dx, podemos completar o quadrado no denominador e fazer uma substituição trigonométrica. Primeiro, completamos o quadrado no denominador: x² + 6x + 10 = (x + 3)² + 1 Fazendo a substituição u = x + 3 e du = dx, temos: ∫(2x+3)/(x²+6x+10) dx = ∫(2(u-3)+3)/[(u+1)²+1] du ∫(2x+3)/(x²+6x+10) dx = 2∫(u-3)/[(u+1)²+1] du + 3∫1/[(u+1)²+1] du A primeira integral pode ser resolvida usando substituição simples, fazendo v = u + 1 e dv = du: ∫(u-3)/[(u+1)²+1] du = ∫(v-4)/[v²+1] dv ∫(u-3)/[(u+1)²+1] du = (1/2)ln(v²+1) - 4arctan(v) + C1 ∫(u-3)/[(u+1)²+1] du = (1/2)ln[(u+1)²+1] - 4arctan(u+1) + C1 A segunda integral pode ser resolvida usando substituição trigonométrica, fazendo t = u + 1 e dt = du: ∫1/[(u+1)²+1] du = ∫1/[1+t²] dt ∫1/[(u+1)²+1] du = arctan(t) + C2 ∫1/[(u+1)²+1] du = arctan(u+1) + C2 Substituindo as integrais na expressão original, temos: ∫(2x+3)/(x²+6x+10) dx = 2[(1/2)ln[(u+1)²+1] - 4arctan(u+1)] + 3[arctan(u+1)] + C ∫(2x+3)/(x²+6x+10) dx = ln[(x+3)²+1] - 8arctan(x+3) + 3arctan(x+1) + C Portanto, a resposta é ∫(2x+3)/(x²+6x+10) dx = ln[(x+3)²+1] - 8arctan(x+3) + 3arctan(x+1) + C.