Calcule as seguintes integrais. Justifique suas respostas. (a) ∫ x sen2 (2x) dx, (b) ∫ 2x+ 3 x2 + 4x+ 5 dx. (a) ∫ x sen2 (2x) dx (b) ∫ 2x+ 3 x2 + 4...

(a) Para calcular a integral ∫x sen²(2x) dx, podemos usar integração por partes. Fazendo u = x e dv = sen²(2x) dx, temos du = dx e v = (1/4)(2x - sen(4x)). Então: ∫x sen²(2x) dx = uv - ∫v du = x(1/4)(2x - sen(4x)) - ∫(1/4)(2x - sen(4x)) dx = (x/2)(x - (1/2)sen(4x)) - (1/8)x² + (1/16)cos(4x) + C Portanto, a integral ∫x sen²(2x) dx é igual a (x/2)(x - (1/2)sen(4x)) - (1/8)x² + (1/16)cos(4x) + C. (b) Para calcular a integral ∫(2x+3)/(x²+4x+5) dx, podemos completar o quadrado no denominador. Temos: x² + 4x + 5 = (x + 2)² + 1 Fazendo a substituição u = x + 2, temos: ∫(2x+3)/(x²+4x+5) dx = ∫(2(u-2)+3)/(u²+1) du = 2∫du/(u²+1) - 4∫du/(u²+1) + 3∫du/(u²+1) = ∫du/(u²+1) + 3arctan(u) - 4arctan(u) + C = -∫du/(u²+1) + 3arctan(u) + C = -arctan(x+2) + 3arctan(x+2) + C = 2arctan(x+2) + C Portanto, a integral ∫(2x+3)/(x²+4x+5) dx é igual a 2arctan(x+2) + C.