MA111 Prova 3 Q4. (3 pontos) Seja R a região entre os gráficos das funções y = x e y = x(2x− 1−x2), com x ∈ [0, 1]. Seja S o sólido obtido ro...
MA111 Prova 3
Q4. (3 pontos) Seja R a região entre os gráficos das funções y = x e y = x(2x− 1−x2), com
x ∈ [0, 1]. Seja S o sólido obtido rotacionando R em torno do eixo y.
(a) Expresse o volume de S em termos de uma integral.
(b) Calcule o volume de S, ou seja, calcule a integral em (a).
Solução:
(a) O volume pode ser calculado com a integral
V =
∫ 1
0
2πx(x− (x(2x− 1− x2))) dx.
(b) Expandindo o integrando de (a) e calculando a integral, obtemos
V =
∫ 1
0
2πx(x− (x(2x− 1− x2))) dx =
11π
15
.
Sugestão de gabarito/grade
• (a) 1,0 por montar a integral
• (b) 0,5 por expandir corretamente o integrando
• (b) 1,0 por calcular a integral indefinida corretamente
• (b) 0,5 por calcular a integral definida corretamente
[object Object]
[object Object]
Q4. (3 pontos) Seja R a região entre os gráficos das funções y = x e y = x(2x− 1−x2), com
x ∈ [0, 1]. Seja S o sólido obtido rotacionando R em torno do eixo y.
(a) Expresse o volume de S em termos de uma integral.
(b) Calcule o volume de S, ou seja, calcule a integral em (a).
Solução:
(a) O volume pode ser calculado com a integral
V =
∫ 1
0
2πx(x− (x(2x− 1− x2))) dx.
(b) Expandindo o integrando de (a) e calculando a integral, obtemos
V =
∫ 1
0
2πx(x− (x(2x− 1− x2))) dx =
11π
15
.
Sugestão de gabarito/grade
• (a) 1,0 por montar a integral
• (b) 0,5 por expandir corretamente o integrando
• (b) 1,0 por calcular a integral indefinida corretamente
• (b) 0,5 por calcular a integral definida corretamente
[object Object]
[object Object]
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💡 1 Resposta
Ed 
Para calcular o volume do sólido S, podemos utilizar o método de discos cilíndricos. (a) A integral que representa o volume de S é dada por: V = ∫[0,1] 2πx(x - (x(2x - 1 - x²))) dx (b) Expandindo o integrando e calculando a integral, temos: V = ∫[0,1] 2πx(2x³ - 3x² + 1) dx V = 2π ∫[0,1] (2x⁴ - 3x³ + x) dx V = 2π [(1/2)x⁵ - (3/4)x⁴ + (1/2)x²] [0,1] V = 2π [(1/2) - (3/4) + (1/2)] V = 2π (1/4) V = π/2 Portanto, o volume do sólido S é π/2.
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