4) (1,25 ponto) Represente graficamente e calcule, utilizando integral definida, o volume da esfera de raio 1.

Para calcular o volume da esfera de raio 1, podemos utilizar a fórmula V = (4/3)πr³. Substituindo o valor do raio, temos V = (4/3)π(1)³ = (4/3)π. Para calcular o volume utilizando integral definida, podemos utilizar o método de casca cilíndrica. A fórmula para o volume utilizando esse método é V = 2π∫[a,b] xf(x)dx, onde a é o limite inferior, b é o limite superior e f(x) é a função que representa a esfera. Como a esfera tem raio 1, podemos representá-la pela equação x² + y² + z² = 1. Isolando z², temos z² = 1 - x² - y². Podemos então integrar de -1 a 1 em relação a x e de -√(1-x²) a √(1-x²) em relação a y. Temos então: V = 2π∫[-1,1] ∫[-√(1-x²),√(1-x²)] √(1-x²-y²) dy dx Essa integral é difícil de calcular diretamente, mas podemos utilizar a substituição trigonométrica y = sin(θ) para simplificar. Temos então: V = 2π∫[-1,1] ∫[0,π] √(1-x²)sin(θ) dθ dx Resolvendo a integral em relação a θ, temos: V = 4π∫[-1,1] √(1-x²) dx Fazendo a substituição x = sin(t), temos: V = 4π∫[0,π/2] cos²(t) dt Essa integral pode ser resolvida utilizando a fórmula de redução de integrais trigonométricas. Temos então: V = 4π/2 * (π/2 - sin(π)) = (4/3)π Portanto, o volume da esfera de raio 1 é (4/3)π, tanto utilizando a fórmula V = (4/3)πr³ quanto utilizando integral definida.