5) (1,25 ponto) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função 2 2 1 xy = no intervalo ]1;0[ .

Para calcular o comprimento de arco de uma curva, utilizamos a fórmula: L = ∫a^b √(1 + [f'(x)]^2) dx Onde a e b são os limites de integração e f(x) é a função que define a curva. No caso da curva xy = (2/1+x^2), temos que: f(x) = (2/1+x^2) f'(x) = (-4x/ (1+x^2)^2) Substituindo na fórmula, temos: L = ∫1^0 √(1 + [(-4x/ (1+x^2)^2)]^2) dx L = ∫1^0 √(1 + 16x^2/ (1+x^2)^4) dx Fazendo a substituição u = 1 + x^2, temos: L = ∫2^1 √(1 + 16/(u^2)) du L = ∫2^1 (u^(-1/2)) √(u^2 + 16) du L = [√(u^2 + 16)]_2^1 L = √17 - 4 Portanto, o comprimento de arco da curva é √17 - 4.