Determine se existem e quais os valores dos limites no infinito abaixo: (a) f(x) = x/(ex+3 − 1), x→∞ (b) f(x) = (x− 1)/(x2 − 2x), x→∞ (c) f(x) = (1...

(a) Para determinar o limite de f(x) = x/(e^x+3 − 1) quando x tende ao infinito, podemos dividir o numerador e o denominador por x^2. Assim, temos: f(x) = x/(e^x+3 − 1) = x/x^2 * 1/(e^x+3/x^2 − 1/x^2) Quando x tende ao infinito, o termo e^x+3/x^2 tende a infinito mais rápido do que 1/x^2, então podemos desprezar o termo 1/x^2. Assim, temos: f(x) ≈ 1/x * 1/(e^x+3/x^2) Quando x tende ao infinito, o termo e^x+3/x^2 tende a infinito, então podemos desprezar o termo 1/(e^x+3/x^2). Assim, temos: lim f(x) = lim 1/x = 0 x→∞ x→∞ Portanto, o limite de f(x) quando x tende ao infinito é igual a 0. (b) Para determinar o limite de f(x) = (x− 1)/(x^2 − 2x) quando x tende ao infinito, podemos dividir o numerador e o denominador por x^2. Assim, temos: f(x) = (x− 1)/(x^2 − 2x) = (x/x^2 − 1/x^2)/(1 − 2/x) Quando x tende ao infinito, o termo 2/x tende a zero mais rápido do que 1/x^2, então podemos desprezar o termo 1/x^2. Assim, temos: f(x) ≈ x/x^2 * 1/1 = 1/x x→∞ Portanto, o limite de f(x) quando x tende ao infinito é igual a zero. (c) Para determinar o limite de f(x) = (1− x− x^2)/(2x^2 − 7) quando x tende a menos infinito, podemos dividir o numerador e o denominador por x^2. Assim, temos: f(x) = (1− x− x^2)/(2x^2 − 7) = (1/x^2 − 1/x − 1/x^2)/(2 − 7/x^2) Quando x tende a menos infinito, o termo 7/x^2 tende a zero mais rápido do que 1/x, então podemos desprezar o termo 1/x. Assim, temos: f(x) ≈ -1/x^2 * 1/2 x→-∞ Portanto, o limite de f(x) quando x tende a menos infinito é igual a zero. (d) Para determinar o limite de f(x) = x/e^(-x) − 1 quando x tende ao infinito, podemos escrever: f(x) = x/e^(-x) − 1 = x * e^x − 1/e^x Quando x tende ao infinito, o termo e^x tende a infinito mais rápido do que x, então podemos desprezar o termo -1/e^x. Assim, temos: lim f(x) = lim x * e^x = ∞ x→∞ x→∞ Portanto, o limite de f(x) quando x tende ao infinito é igual a infinito. (e) Para determinar o limite de f(x) = (x^3 − 2x+ 1)/− 2x^2 − 3x quando x tende a menos infinito, podemos dividir o numerador e o denominador por x^2. Assim, temos: f(x) = (x^3 − 2x+ 1)/− 2x^2 − 3x = (1/x − 2/x^2 + 1/x^3)/(-2 + 3/x) Quando x tende a menos infinito, o termo 3/x tende a zero mais rápido do que 1/x^2, então podemos desprezar o termo 2/x^2. Assim, temos: f(x) ≈ -1/x * 1/-2 = 1/2x x→-∞ Portanto, o limite de f(x) quando x tende a menos infinito é igual a zero.