RA175182_ME414_L1

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Isabela Pereira Gaspar RA:175182 
ME414 – B Prof. Sebastião Amorim 
Lista de Exercícios 1 
1- a) p = 0,2 n = 20 
𝑃 𝑋 = 5 = 𝐶20
5 ∙ 0,25 ∙ 1 − 0,2 20−5 = 0,17456 
b) p = 0,2 m= 1000 
𝑃 𝑋 = 200 = 𝐶1000
200 ∙ 0,2200 ∙ 1 − 0,2 1000−200 = 0,031525 
c) p= 0,2 m= 1000 
𝑃 𝑋 ≤ 180 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 
180
𝑥=0
= 𝐶1000
𝑥 ∙ 0,2𝑥 ∙ 1 − 0,2 1000−𝑥
180
𝑥=0
= 0,06019 
d) Tratando-se de uma distribuição binomial: 
𝐸 𝑋 = 𝑛 ∙ 𝑝 = 1000 ∙ 0,2 = 200 
𝑉 𝑋 = 𝑛 ∙ 𝑝 ∙ 1 − 𝑝 = 1000 ∙ 0,2 ∙ 0,8 = 160 
2- a) Considerando a situação podemos determinar os eleitores aleatórios 
como 𝑛 de uma distribuição binomial, onde tomamos como sucesso os 
brasileiros que votariam no candidato A. Portanto, sendo 𝑋 o número de 
sucesso da amostra temos que 𝑋 = 6 e com isso podemos mostrar a intenção 
de votos dos eleitores da seguinte forma: 
 
A partir desse gráfico entendemos que a probabilidade do candidato A obter 
sucesso nas eleições é de 6%, ou seja, 𝑝 = 0,06. Assim, utilizando esse valor 
de 𝑝 e analisando uma amostra maior ( 150 milhões de brasileiros), podemos 
obter um gráfico semelhante ao anterior, onde a esperança é 𝐸 𝑋 = 9000000 
e a variância é de 𝑉 𝑋 = 8460000. 
b) Para uma amostra aleatória de 1000 eleitores com 60 votos para o 
candidato A e seguindo os procedimentos do item a, obtemos o seguinte 
gráfico: 
 
Podemos ver que este gráfico mostra-se mais preciso no valor 60, possuindo 
um desvio padrão menor. Contudo, analisando para os 150 milhões de 
brasileiros obtemos a mesma probabilidade, esperança e variância. 
 
3- O gráfico abaixo nos apresenta uma amostra de 250 milhares de produtos 
após o primeiro ajuste, onde a freqüência de produtos defeituosos era de 8%. 
 
A partir dele podemos ver que 𝐸 𝑋 = 20 ,𝑉 𝑋 = 18,4 𝑒 𝑑𝑝 𝑥 = 4,30. 
Portanto com essa frequência seria impossivel encontrarmos apenas 6 
produtos defeituosos, mas poderíamos encontrar 10 produtos, mesmo sendo 
pouquissímo provável. Assim, sabemos que a frequencia para produtos 
defeituosos nessa fabrica diminuiu e analisaremos agora qual 𝑝 seria possível 
para que 𝑋 = 6 𝑜𝑢 𝑋 = 10. Lembrando que 0 ≤ 𝑝 ≤ 1. 
 
Portanto, para encontrarmos 6 produtos defeituosos a frequencia da fábrica 
deve estar entre 1% e 6%, de acordo com o gráfico acima. Já observando o 
gráfico abaixo, para que encontremos 10 produtos defeituosos a frequecia deve 
estar entre 2% e 8%. 
 
 
4- a) Abaixo podemos ver o gráfico da curva de distribuição acumulada de 
probabilidades de X, onde na abscissa estão as alturas e na ordenadas a 
probabilidade de cada altura aparecer num sorteio. 
 
b) De acordo com as manipulações feitas no Excel temos que: 
𝐸 𝑋 = 𝑥 ∙ 𝑃 𝑥 
193
𝑥=155
= 174,6 𝑐𝑚 
𝑉 𝑋 = (𝑥 − 𝐸 𝑋 )2 ∙ 𝑃{𝑋}
193
𝑥=155
= 71,52 𝑐𝑚 
c) Se restringirmos apenas as meninas temos: 
𝐸 𝑋 = 𝑥 ∙ 𝑃 𝑥 
193
𝑥=155
= 166,4 𝑐𝑚 
𝑉 𝑋 = (𝑥 − 𝐸 𝑋 )2 ∙ 𝑃{𝑋}
193
𝑥=155
= 20,84 𝑐𝑚 
d) Já se restringirmos apenas aos meninos, temos: 
𝐸 𝑋 = 𝑥 ∙ 𝑃 𝑥 
193
𝑥=155
= 179,2 𝑐𝑚 
𝑉 𝑋 = (𝑥 − 𝐸 𝑋 )2 ∙ 𝑃{𝑋}
193
𝑥=155
= 41,24 𝑐𝑚 
5- a) Os universos ou espaços amostrais são: 
𝛺
= 
 1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 3; 1 3; 2 3; 3 3; 4 3; 5 4; 1 4; 2 
 4; 3 4; 4 4; 5 5; 1 5; 2 5; 3 5; 4 (5; 5)
 
𝛺𝑦 = { 2 3 4 5 6 7 8 9 10} 
b) O gráfico abaixo mostra as probabilidades de Y, no qual na abiscissa está o 
espaço amostral de Y. 
 
c) Como X1 e X2 são 𝐷5, sabemos que eles possuem a mesma esperança e 
variância. Portanto, 
𝐸 𝑋 = 𝑥 ∙ 𝑃 𝑥 
5
𝑥=1
= 3 
𝑉 𝑋 = 𝑥 − 𝐸 𝑋 
2
∙ 𝑃 𝑋 
5
𝑥=1
= 2 
Já para Y, de acordo com as manipulações pelo Excel, temos: 
𝐸 𝑌 = 𝑦 ∙ 𝑃 𝑦 
10
𝑦=2
= 6 
 
𝑉 𝑌 = (𝑦 − 𝐸 𝑦 )2 ∙ 𝑃{𝑦}
10
𝑦=2
= 4 
6 – a) Analisando os resultados do exercício anterior podemos ver que a partir da 
soma de dois lançamentos de 𝐷5 a esperança e a variância de Y dobram. 
Partindo desse principio, se houver 800 lançamentos 𝐸 𝑌 = 800 ∙ 𝐸(𝑋), bem 
como 𝑉 𝑌 = 800 ∙ 𝑉(𝑋). Assim, temos 𝐸 𝑌 = 2400 e 𝑉 𝑌 = 1600. 
b) Considerando o experimento como uma distribuição normal, utilizamos a 
fómula de φ para encontrarmos P{X=2400}. 
𝑃 𝑋 = 2400 = 𝜑 2400 = 
1
 2𝜋𝐸
∙ 𝑒−(
−1
2
 ∙ 
2400−𝐸
𝑉
 
2
) = 0,009976.