2. (Unicamp 2021) Seja ???? um número real tal que os primeiros três termos de uma progressão geométrica infinita são 1,  2????, −3???? + 1, nesta ordem...

Para resolver esse problema, precisamos usar as propriedades da progressão geométrica. Sabemos que a razão da progressão é ???? e que o primeiro termo é 1. Portanto, o segundo termo é 2???? e o terceiro termo é -3???? + 1. Como todos os termos da progressão são positivos, podemos concluir que a razão é positiva. Além disso, como o terceiro termo é negativo, podemos concluir que ???? é negativo. Agora, podemos usar a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita: S = a1 / (1 - r) Onde S é a soma dos termos, a1 é o primeiro termo e r é a razão. Substituindo os valores conhecidos, temos: S = 1 / (1 - ????) Para que a soma seja finita, a razão deve estar entre -1 e 1. Como ???? é negativo, podemos concluir que a soma é finita. Agora, precisamos encontrar o valor de S. Podemos fazer isso usando a fórmula quadrática: S = (-b + sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a Onde a = 1, b = 1 e c = ????. Substituindo os valores conhecidos, temos: S = (-1 + sqrt(1 + 4????)) / 2 Simplificando, temos: S = (-1 + sqrt(4???? + 1)) / 2 Agora, precisamos encontrar o valor de ???? que satisfaz as condições do problema. Sabemos que o segundo termo é 2????, portanto: 2???? = 1 x ???? ???? = 1/2 Substituindo ???? = 1/2 na fórmula da soma, temos: S = (-1 + sqrt(4/3)) / 2 Simplificando, temos: S = (sqrt(4/3) - 1) / 2 Portanto, a resposta correta é a alternativa c) 5/2.