LISTA 3- FRENTE 2- PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

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LISTA 3- FRENTE 2- PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G) 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
 
PARTE 1- EXERCÍCIOS ESA/EEAR 
 
1. (EEAR – 2012) Se a sequência 
(𝑥, 3𝑥 + 2, 10𝑥 + 12) é uma PG de termos não nulos, 
então 𝑥² é: 
 
A) 1 
B) 4 
C) 9 
D) 16 
 
2. (EEAR – 2016-2) Quatro números estão dispostos de 
forma tal que constituem uma PG finita. O terceiro 
termo é igual a 50 e a razão é igual a 5. Desta maneira, 
o produto de 1 4a a vale 
 
A) 10 
B) 250 
C) 500 
D) 1250 
 
3. (EEAR – 2018.2) O 6º termo da sequência 2, 8, 32, 
128, ... é um número cuja soma dos algarismos é: 
 
A) 10 
B) 12 
C) 14 
D) 16 
 
4. (EEAR – 2014) Em uma PG de razão 6, o quarto 
termo é 48. Assim, o primeiro termo é 
 
)2
)3
1
)
6
2
)
9
a
b
c
d
 
 
5. (EEAR – 2009) O 4º termo de uma P.G. é −80, e o 
6º termo é −320. Se essa P.G. é alternante, então sua 
razão é: 
 
A) 4 
B) 3 
C) –1 
D) –2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. (EEAR – 2011) Sejam as sequências 
1 (1,5,25,125,...)S = e 2 (4,7,10,13...)S = . A razão 
entre o 6º termo de 
1S e o 8º de 2S é: 
A) 150. 
B) 125. 
C) 100. 
D) 75. 
 
 
7. (EEAR – 2018.1) Seja a PG ( )1 2 3 4, , , ,...a a a a de 
razão q=2. Se 1 5 272a a+ = , o valor de 1a é: 
 
A) 8 
B) 6 
C) 18 
D) 16 
 
8. (EEAR – 2009) Quatro números naturais formam 
uma PG crescente. Se a soma dos dois primeiros 
números é 12, e a dos dois últimos é 300, a razão da 
PG é: 
 
A) 7 
B) 5 
C) 4 
D) 2 
 
9. (EEAR – 2017.2) Seja ( )1 2 3 4, , , ,...a a a a uma PG de 
termos não nulos. Se 2 4 3 52( )a a a a+ = + , pode-se 
afirmar corretamente que a razão dessa PG é: 
 
)4
)2
1
c)
2
) 2
a
b
d
 
 
10. (EEAR – 2010) Seja a PG (𝑎, 𝑏, 𝑐). Se 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 27 e 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 = −1, então o valor de 
𝑎 + 𝑐 é: 
 
)8
)12
5
c)
6
13
)
6
a
b
d
 
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11. (EEAr – 2015) Em uma Progressão Geométrica, o 
primeiro termo é 1 a razão é 
1
2
. A soma dos 7 primeiros 
termos dessa PG é: 
 
127
)
64
97
)
64
63
c)
32
57
)
32
a
b
d
 
 
12. (EEAR – 2008) A soma dos 𝑛 primeiros termos da 
PG (1, −2, 4, −8, … ) é −85. Logo, 𝑛 é: 
 
A) 8 
B) 10 
C) 12 
D) 14 
 
13. (EEAR – 2019.2) Dada a equação 
20𝑥 + 10𝑥 + 5𝑥 + ⋯ = 5, em que o primeiro membro 
representa a soma dos termos de uma progressão 
geométrica infinita, o valor de 1/𝑥 é 
 
A) 12 
B) 10 
C) 8 
D) 5 
 
PARTE 2- NÍVEL EsPCEx/AFA/EN/EFOMM/ITA/IME/FGV 
 
 
1. (Ita 2017) Sejam a, b, c, d . Suponha que 
a, b, c, d formem, nesta ordem, uma progressão 
geométrica e que a, b 2, c 4, d 140− formem, nesta 
ordem, uma progressão aritmética. Então, o valor de 
d b− é 
 
a) 140.− 
b) 120.− 
c) 0. 
d) 120. 
e) 140. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. (EsPCEx 2017) A sequência 1 2 10(a , a , , a ), onde 
1 2 3 10
3 5 9 1.025
a , a , a , , a
2 2 2 2
= = = = é de tal forma 
que para cada n {1, 2, , 10} temos que 
n n na b c ,= + onde 1 2 10(b , b , , b ) é uma PG com 
1b 0 e de razão q 1  e 1 2 10(c , c , , c ) é uma PA 
constante. 
 
Podemos afirmar que 1 2 10a a a+ + + é igual a 
a) 98 
b) 172 
c) 260 
d) 516 
e) 1.028 
 
3. (AFA 2017) A solução do sistema 
 
x y x y x y x y
1
2 6 18 54
3x y 2
− − − −
− + − + = −

 − = −
 
 
é tal que x y+ é igual a 
a) 
11
3
 
b) 
10
3
 
c) 
7
3
− 
d) 
8
3
− 
 
4. (AFA 2016) Considere as expressões 
 
2 2 2 2 2 2 2 2A 26 24 23 21 20 18 ... 5 3= − + − + − + + − e 
 
8 164B 2 2 2 2 2...=    
 
O valor de 
A
B
 é um número compreendido entre 
 
a) 117 e 120 
b) 114 e 117 
c) 111 e 114 
d) 108 e 111 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. (Fgv 2016) Três números formam uma progressão 
geométrica. A média aritmética dos dois primeiros é 6, 
e a do segundo com o terceiro é 18. Sendo assim, a 
soma dos termos dessa progressão é igual a 
 
a) 18. 
b) 36. 
c) 39. 
d) 42. 
e) 48. 
 
6. (Efomm 2016) Numa progressão geométrica 
crescente, o 3º termo é igual à soma do triplo do 1º 
termo com o dobro do 2º termo. Sabendo que a soma 
desses três termos é igual a 26, determine o valor do 
2º termo. 
 
a) 6 
b) 2 
c) 3 
d) 1 
e) 
26
7
 
 
7. (Esc. Naval 2015) A soma dos três primeiros termos 
de uma P.G. crescente vale 13 e a soma dos seus 
quadrados 91. Justapondo-se esses termos, obtém-se 
um número de três algarismos. Pode-se afirmar que o 
resto da divisão desse número pelo inteiro 23 vale 
 
a) 1 
b) 4 
c) 8 
d) 9 
e) 11 
 
8. (AFA 2013) A sequência 
8
x, 6, y, y
3
 
+ 
 
 é tal, que os 
três primeiros termos formam uma progressão 
aritmética, e os três últimos formam uma progressão 
geométrica. 
Sendo essa sequência crescente, a soma de seus termos 
é 
a) 
92
3
 
b) 
89
3
 
c) 
86
3
 
d) 
83
3
 
 
 
 
 
9. (Espcex (Aman) 2013) Um fractal é um objeto 
geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma 
das quais semelhantes ao objeto original. Em muitos 
casos, um fractal é gerado pela repetição indefinida de 
um padrão. A figura abaixo segue esse princípio. Para 
construí-la, inicia-se com uma faixa de comprimento 
m na primeira linha. Para obter a segunda linha, uma 
faixa de comprimento m é dividida em três partes 
congruentes, suprimindo-se a parte do meio. Procede-
se de maneira análoga para a obtenção das demais 
linhas, conforme indicado na figura. 
 
 
 
Se, partindo de uma faixa de comprimento m, esse 
procedimento for efetuado infinitas vezes, a soma das 
medidas dos comprimentos de todas as faixas é 
 
a) 3 m 
b) 4 m 
c) 5 m 
d) 6 m 
e) 7 m 
 
10. (Espcex (Aman) 2011) Um menino, de posse de 
uma porção de grãos de arroz, brincando com um 
tabuleiro de xadrez, colocou um grão na primeira casa, 
dois grãos na segunda casa, quatro grãos na terceira 
casa, oito grãos na quarta casa e continuou 
procedendo desta forma até que os grãos acabaram, 
em algum momento, enquanto ele preenchia a décima 
casa. A partir dessas informações, podemos afirmar 
que a quantidade mínima de grãos de arroz que o 
menino utilizou na brincadeira é 
 
a) 480 
b) 511 
c) 512 
d) 1023 
e) 1024 
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11. (Famema 2020) A progressão geométrica 
1 2 3(a , a , a , ) tem primeiro termo 1
3
a
8
= e razão 5. A 
progressão geométrica 1 2 3(b , b , b , ) tem razão 
5
.
2
 Se 
5 4a b ,= então 1b é igual a 
 
a) 
25
4
 
b) 5 
c) 
3
20
 
d) 15 
e) 
9
2
 
 
12. (Fmp 2019) Uma progressão geométrica tem o seu 
primeiro termo e sua razão iguais a 
1
.
2
 
O quinto termo dessa progressão é uma fração que, se 
escrita em forma percentual, é dada por 
a) 6,25% 
b) 31,25% 
c) 3,125% 
d) 32% 
e) 2,5% 
 
13. (Mackenzie 2019) Se o quarto termo de uma 
progressão geométrica é 2, então o produto dos seus 
7 primeiros termos é igual a 
 
a) 108 
b) 128 
c) 148 
d) 168 
e) 188 
 
14. (G1 - ifce 2019) Numa progressão geométrica, o 
segundo e o sétimo termos valem, respectivamente, 
32 e 243. 
 
Nessa progressão, o quarto termo é o número 
 
a) 64. 
b) 72. 
c) 56. 
d) 48. 
e) 36. 
 
 
 
 
 
 
15. (Espm 2019) Considere a sequência 
S (2, 6,12, 24, 48, 72),= onde o termo de ordem n 
representa a soma dos n primeiros termos de uma 
sequência T. Pode-se afirmar que T é: 
 
a) uma progressão aritmética. 
b) uma progressão geométrica. 
c) parte da sequência de Fibonacci. 
d) estritamente crescente. 
e) não decrescente. 
 
16. (Famema 2019) A progressão aritmética 
1 2 3(a , a , a , ) tem razão 2 e os termos 1 2a , a e 5a 
formam, nesta ordem, uma progressãogeométrica. A 
razão da progressão geométrica é 
 
a) 4. 
b) 5. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 3. 
 
17. (Usf 2018) Considere uma progressão aritmética 
crescente de cinco termos, na qual o produto do 
primeiro com o quinto termo é 45, e a soma dos 
outros três termos é 27. Dado que o segundo e 
quarto termos dessa progressão aritmética são, 
respectivamente, o primeiro e o segundo termos de 
uma progressão geométrica, é possível afirmar, 
corretamente, que o décimo termo da progressão 
geométrica assim definida vale 
 
a) 12.288. 
b) 30. 
c) 6.144. 
d) 60. 
e) 3.072. 
 
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GABARITO PARTE 1: 
 
1- B 
2- C 
3- C 
4- D 
5- D 
6- B 
7- D 
8- B 
9- B 
10- D 
11- A 
12- A 
13- C 
 
 
GABARITO PARTE 2: 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Calculando: 
( )
2
3
a a
b aq
PG a, b, c, d
c aq
d aq
b c
PA a, , , d 140
2 4
=
=
→ →
=
=
→ −
 
 
Da PA, tem-se: 
b c c
2 a b a
2 4 4
 = + → = + 
 
Substituindo os valores de b e c : 
2
2aqaq a q 4q 4 0 q 2
4
= + → − + = → = 
 
Da PA, tem-se: 
2
3
3
c b aq aq
2 (d 140) 2 aq 140 2a a 8a 140 a 20
4 2 4 2
b aq 40
d b 120
d aq 160
 = + − →  = + − → = + − → =
= =
− =
= =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 2: 
 [E] 
 
( )
1 2 10
10
1 1 1 1
a a a 1 2 4 ... 512
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1 2 4 8 ... 512)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 11
10 5 1023 1028
2 2 1
       
+ + + = + + + + + + + + =       
       
 
+ + + + + + + + + + + + + + + = 
 
 −
=  + = + =
−
 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
A soma apresentada é uma PG com razão 1 3.− Logo, pode-se escrever: 
1
x y
a 3x 3y 3x 3y2S 1
11 q 8 8
1
3
1x3x 3y 8 103 x y
33x y 2 y 3
−
− −
= = = → = −
−
+
=− = −
→ → + =
− = − =
 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
É preciso primeiramente resolver as duas expressões. 
 
Note que: 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2A 26 24 23 21 20 18 ... 5 3
A 100 88 76... 16
= − + − + − −
= + + +
 
 
Ou seja, percebe-se que os resultados das subtrações formam uma progressão aritmética de razão r 12.= − 
Conhecendo o primeiro e o último termo, podemos calcular tanto o número de termos quanto a soma de todos os 
termos da P.A.: 
n 1a a r (n 1)
16 100 12 (n 1)
84
n 1
12
7 1 n
n 8
= +  −
= −  −
−
= −
−
+ =
=
 
 
Assim: 
8 1 n
8
8
n
S (a a )
2
8
S (100 16)
2
S 464
= + 
= + 
=
 
 
Logo, conclui-se que a expressão A 464.= 
 
Agora analisando a expressão B, podemos reescrevê-la em termos de potências: 
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1 11 1
8 162 4B 2 2 2 2 2 ...=     
 
Percebe-se que os expoentes formam uma progressão geométrica infinita de razão q 1 2.= 
Pode-se calcular a soma dos termos de uma P.G. infinita, como segue: 
1
n
1
a 2S 1
11 q 1
2
= = =
− −
 
 
Assim, pode-se dizer que a soma dos termos da P.G. tende a 1. Logo, 1B 2 2 4.=  = 
 
Por fim, o resultado da divisão de A por B será: 
A 464
116
B 4
  
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
( )
( ) ( )
( ) 2 2
a
PG , a, aq
q
a
a
a 1q
6 a 12 a 1 12 36 1
2 q q 1 12
1 q q
a aq 36
18 a 1 q 36 a
2 1 q
36 1 36 36 36 36q
1 12 12 12
1 q q 1 q q 1 q 1 q q
q' 3
36 36q 12q 1 q 12q 24q 36 0 q 2q 3 0
q'' 1(não con
 
=  
 
+
 
=  + =   + =   
  + =   
+  
+
=   + =  =
+
  +
 + =  + =  = 
+ +  + +  
=
 + =  +  − − =  − − = 
= −
( )
vém)
36
a a 9
1 4
PG 3, 9, 27 Soma 3 9 27 39
=  =
+
=  = + + =
 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Seja 
x
, x, xq,
q
 
 
 
 a progressão geométrica, com x 0 e q 1. Tem-se que 
 
2xxq 3 2x q 2q 3 0
q
q 3.
= +  − − =
 =
 
 
Por conseguinte, vem 
 
x 1
x xq 26 x 1 3 26 x 6.
q 3
 
+ + =  + + =  = 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
Seja (a, b, c) a progressão geométrica crescente cujos termos queremos determinar. Tem-se que a b c 13+ + = e 
2 2 2a b c 91.+ + = Além disso, sabemos que 2b ac.= Logo, vem 
 
2 2 2 2 2(a b c) 13 a b c 2(ab ac bc) 169
91 2b(a b c) 169
26b 78
b 3.
+ + =  + + + + + =
 + + + =
 =
 =
 
 
Em consequência, de a c 10+ = e ac 9,= segue que a 1= e c 9.= 
 
Portanto, como 139 1mod23, podemos concluir que a resposta é 1. 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
P.A. (x, 6, y)  x + y = 6  2  x = 12 – y 
 
P.G. (6, y, y + 8/3)  y2 – 6y – 16 = 0  y = 8 ou y = –2 
 
y = 8  x = 4 
y = –2  x = 14 (não convém, pois a sequência é crescente). 
 
Portanto, a soma dos elementos da sequência será: 
 
4 + 6 + 8 + 8 + 8/3 = 86/3. 
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
Os comprimentos das faixas constituem uma progressão geométrica infinita, sendo 1a m= o primeiro termo 
2
q
3
= 
a razão. 
Portanto, a soma dos comprimentos de todas as faixas é dada por 
 
n
x
m
lim S 3m.
2
1
3
→
= =
−
 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
A quantidade de grãos colocados pelo menino em cada casa constitui uma progressão geométrica cujo primeiro 
termo é 1 e cuja razão vale 2. Logo, segue que a quantidade de grãos colocados até a nona casa foi de 
 
−
 =
−
92 1
1 511.
2 1
 
 
Como os grãos só acabaram na décima casa, temos que a quantidade mínima de grãos que o menino utilizou na 
brincadeira é + =511 1 512. 
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Resposta da questão 11: 
 [D] 
 
Tem-se que 
3
4
5 4 1
3
4
1 3
1
3 5
a b 5 b
8 2
3 5
5 b
8 2
b 15.
 
=   =   
 
  = 
 =
 
 
Resposta da questão 12: 
 [C] 
 
Calculando: 
5
1 1 1 1 1 1 1
0,03125 3,125%
2 2 2 2 2 322
    = = = = 
 
Resposta da questão 13: 
 [B] 
 
Se 34 1a a q 2,=  = então 
 
7 1
7
7 2
7 1
3 7
1
7
P a q
(a q )
2
128.
− 
 
 = 
= 
=
=
0 
 
Resposta da questão 14: 
 [B] 
 
Calculando a razão q da P.G., obtemos: 
5 5 5
7 2
243 3
a a q 243 32 q q q
32 2
=   =   =  = 
 
O próximo passo será calcular o quarto termo: 
2
2
4 2 4 4
3
a a q a 32 a 72
2
 
=   =   = 
 
 
 
Resposta da questão 15: 
 [E] 
 
A sequência de Fibonacci é definida por n 2 n 1 nF F F+ += + (n 0), com 0 1F F 1.= = Logo, segue que 
n(F ) (1,1, 2, 3, 5, 8,13, 21, ).= 
 
Como T (2, 4, 6,12, 24, 24),= podemos concluir que T não é uma progressão aritmética, não é uma progressão 
geométrica, não é uma parte da sequência de Fibonacci, não é estritamente crescente e é não decrescente. 
 
Resposta da questão 16: 
 [E] 
TEOREMA MILITAR 
LISTA 3- FRENTE 2- PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (P.G) 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
Calculando: 
( )
( ) ( )
( )
1 1 1
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
PG a ; a 2 ; a 8
a 2 a a 8 a 4a 4 a 8a a 1
PG 1; 3; 9 q 3
 + +
+ =  +  + + = +  =
  =
 
 
Resposta da questão 17: 
 [E] 
 
Seja (a 2r, a r, a, a r, a 2r)− − + + a progressão aritmética, com r 0. Tem-se que a r a a r 27 a 9.− + + + =  = 
 
Logo, como o produto do primeiro com o quinto termo é 45, vem 
2
2
(a 2r) (a 2r) 45 81 4r 45
r 9
r 3.
−  + =  − =
 =
 =
 
 
Portanto, o segundo termo da progressão aritmética é 6 e o quarto é 12. Assim, a progressão geométrica tem 
razão igual a 
12
2
6
= e o seu décimo termo é 96 2 3072. =