Questão 5. (2.0 pontos) Seja R a região entre as curvas y = x e y = x2 + 1, para x no intervalo [0, 2]. (a) (0.5) Esboce a região R. (b) (1.5)...
(a) (0.5) Esboce a região R.
(b) (1.5) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x.
Solução: (a) Um esboço da região é dado abaixo
-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
2
4
6
(b) O volume V do sólido em questão é dado pela diferença V = V1 − V2 onde:
• V1 é o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região delimitada pela curva y = x2 + 1 e pelas retas x = 0 e x = 2.
• V2 é o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região delimitada pela curva y = x e pelas retas x = 0 e x = 2.
Dessa maneira, temos que
V1 =
∫ 2
0
π(x2 + 1)2dx = π
(
x5
20
+
2x3
3
+
x
)
∣∣∣∣∣
2
0
= 17π
30
.
Para calcular V2, usamos o método dos discos. Para isso, fixamos um x no intervalo [0, 2] e consideramos o disco de raio y = x e espessura dx. O volume do disco é dado por πx2dx. Assim, o volume V2 é dado por
V2 =
∫ 2
0
πx2dx = π
(
x3
3
)
∣∣∣∣∣
2
0
= 8π
3
.
Portanto, o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x é V = V1 − V2 = 17π/30 − 8π/3 = −49π/30.
[object Object]
[object Object]
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💡 1 Resposta
Ed 
(a) Para esboçar a região R, podemos traçar os gráficos das funções y = x e y = x² + 1 no intervalo [0, 2] e sombrear a região entre elas. A figura resultante é uma parábola com concavidade voltada para cima, interceptando o eixo y no ponto (0,1) e o eixo x nos pontos (0,0) e (2,5). (b) Para calcular o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x, podemos utilizar o método dos discos. Fixando um x no intervalo [0, 2], consideramos o disco de raio y = x e espessura dx. O volume do disco é dado por πx²dx. Assim, o volume V2 é dado por: V2 = ∫2 0 πx²dx = π(x³/3)|2 0 = 8π/3 Para calcular V1, usamos o método das cascas cilíndricas. Fixando um x no intervalo [0, 2], consideramos a casca cilíndrica de raio externo y = x² + 1, raio interno y = x e espessura dx. O volume da casca é dado por 2πx(x² + 1 - x)dx. Assim, o volume V1 é dado por: V1 = ∫2 0 2πx(x² + 1 - x)dx = π(x⁵/5 + 2x³/3 + x)|2 0 = 17π/30 Portanto, o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x é V = V1 - V2 = 17π/30 - 8π/3 = -49π/30.
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