Verifique se o seguinte conjunto é subespacço de R² W2=[(×,y) E R²; x+4y=0]?

Para verificar se o conjunto W2 é um subespaço de R², precisamos verificar se ele atende às três condições abaixo: 1. O vetor nulo pertence a W2. 2. W2 é fechado sob adição. 3. W2 é fechado sob multiplicação escalar. 1. O vetor nulo é (0,0). Substituindo x=0 e y=0 na equação x+4y=0, temos que 0+4(0)=0, ou seja, (0,0) pertence a W2. 2. Sejam u=(u1,u2) e v=(v1,v2) dois vetores quaisquer em W2. Precisamos mostrar que u+v também pertence a W2. Temos: (u1,u2) + (v1,v2) = (u1+v1, u2+v2) Para que u+v pertença a W2, precisamos ter (u1+v1) + 4(u2+v2) = 0. Expandindo a equação, temos: u1 + v1 + 4u2 + 4v2 = 0 Mas sabemos que u1 + 4u2 = 0 (pois u pertence a W2) e que v1 + 4v2 = 0 (pois v pertence a W2). Substituindo essas igualdades na equação acima, obtemos: 0 + 0 = 0 Portanto, u+v pertence a W2 e W2 é fechado sob adição. 3. Seja k um escalar qualquer e u=(u1,u2) um vetor em W2. Precisamos mostrar que ku também pertence a W2. Temos: k(u1,u2) = (ku1, ku2) Para que ku pertença a W2, precisamos ter ku1 + 4ku2 = 0. Mas sabemos que u1 + 4u2 = 0 (pois u pertence a W2). Substituindo essa igualdade na equação acima, obtemos: k(u1 + 4u2) = k.0 = 0 Portanto, ku pertence a W2 e W2 é fechado sob multiplicação escalar. Como W2 atende às três condições acima, concluímos que W2 é um subespaço de R².