Considere dois números complexos e , o primeiro escrito na forma polar complexa, e o segundo, na forma usual. A motivação da definição da função l...

A alternativa correta é a letra a) V, F, F, V. I. (V) Se z = r(cosθ + i senθ) e w = x + yi, então log(z) = ln(r) + iθ e log(w) = ln(|w|) + i arg(w), onde arg(w) é o argumento de w. Portanto, se z = w, temos que ln(r) + iθ = ln(|w|) + i arg(w), o que implica em r = |w| e θ = arg(w) + 2kπ, onde k é um número inteiro. Logo, z = w se, e somente se, r = |w| e θ = arg(w) + 2kπ, o que é equivalente a dizer que z e w representam o mesmo número complexo. II. (F) Se z é um número complexo, então log(z) não está definido na forma usual, pois a função logaritmo é definida apenas para números reais positivos. III. (F) Para qualquer número inteiro n, log(z^n) = n log(z), pois a propriedade do logaritmo de potência é válida apenas para números reais positivos. IV. (V) Para todo número complexo z ≠ 0, existem infinitos números complexos w tais que e^w = z. De fato, se w = ln|z| + i arg(z) + 2kπi, onde k é um número inteiro, então e^w = e^(ln|z|+iarg(z)+2kπi) = e^(ln|z|+iarg(z)) * e^(2kπi) = z * 1 = z. Portanto, a função logaritmo complexo é multivalorada. Logo, a alternativa correta é a letra a) V, F, F, V.