Quando você pula corda, a corda forma uma superfície no espaço em volta do seu corpo denominada superfície de revolução. A "área" dessa superfície ...

Quando você pula corda, a corda forma uma superfície no espaço em volta do seu corpo denominada superfície de revolução. A "área" dessa superfície depende do comprimento da corda e da distância entre cada um de seus segmentos e o eixo de revolução. Assim, se a corda mencionada assume a forma de um semicírculo com raio begin mathsize 12px style a end style, que gira em torno do eixo begin mathsize 12px style x end style, ela gera uma esfera com área de superfície begin mathsize 12px style 4 pi a squared end style. Suponha que queiramos definir área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo begin mathsize 12px style x end style, da curva de uma função contínua não negativa begin mathsize 12px style y equals f left parenthesis x right parenthesis end style, begin mathsize 12px style a less-than or slanted equal to x less-than or slanted equal to b end style. Dividimos o intervalo fechado begin mathsize 12px style open square brackets a comma space b close square brackets end style da maneira usual e usamos os pontos da partição para subdividir o gráfico em arcos curtos. Considere um arco begin mathsize 12px style P Q end style e a faixa gerada por ele como parte do gráfico de size 12px f, quando o arco size 12px P size 12px Q gira em torno do eixo begin mathsize 12px style x end style, o segmento de reta que une size 12px P e size 12px Q gera um tronco de cone cujo eixo coincide com o eixo begin mathsize 12px style x end style. A área de superfície desse tronco serve para aproximar a área da superfície da faixa gerada pelo arco begin mathsize 12px style P Q end style. A área de superfície do tronco do cone é size 12px 2 size 12px pi size 12px y size 12px asterisk times size 12px L, em que size 12px y size 12px asterisk times é a altura média do segmento de reta que une size 12px P e size 12px Q, e size 12px L é seu comprimento. Assim, se a função size 12px f size 12px left parenthesis size 12px x size 12px right parenthesis size 12px greater-than or slanted equal to size 12px 0 é continuamente derivável em begin mathsize 12px style left square bracket a comma space b right square bracket end style, a área da superfície gerada pela rotação da curva size 12px y size 12px equals size 12px f size 12px left parenthesis size 12px x size 12px right parenthesis em torno do eixo size 12px x é begin mathsize 12px style S equals integral subscript a superscript b 2 pi y square root of 1 plus open parentheses fraction numerator d y over denominator d x end fraction close parentheses squared end root d x equals integral subscript a superscript b 2 pi space f left parenthesis x right parenthesis square root of 1 plus open parentheses f apostrophe left parenthesis x right parenthesis close parentheses squared end root d x end style THOMAS, George B. et al. Cálculo. 11. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2009. v. 1.