Calcule a integral de superfície do campo vetorial F with rightwards arrow on top left parenthesis x comma space y comma space z right parenthesis ...

Para calcular a integral de superfície do campo vetorial F através da superfície S de um bloco cilíndrico, podemos utilizar o Teorema da Divergência de Gauss. Primeiro, precisamos calcular a divergência do campo vetorial F: div(F) = ∂(x y²)/∂x + ∂(x² y)/∂y + ∂y/∂z = y² + x² + 0 = x² + y² Agora, podemos aplicar o Teorema da Divergência de Gauss: ∫∫S F . dS = ∫∫∫V div(F) dV Onde V é o volume limitado pelo bloco cilíndrico. Como o bloco é simétrico em relação ao plano xy, podemos calcular a integral apenas para metade do bloco e multiplicar o resultado por 2. Assim, temos: ∫∫S F . dS = 2 ∫∫D F . n . dS Onde D é a projeção da superfície S no plano xy e n é o vetor normal à superfície. Para calcular a integral dupla, podemos utilizar coordenadas polares: ∫∫D F . n . dS = ∫0^1 ∫0^2π F(r,θ) . r . dr . dθ Onde F(r,θ) = (r² cosθ) i + (r² sinθ) j + k e r² = x² + y². Substituindo, temos: ∫∫D F . n . dS = ∫0^1 ∫0^2π (r⁴ cos²θ + r⁴ sin²θ) . r . dr . dθ = ∫0^1 ∫0^2π r⁵ . dr . dθ = π/3 Portanto, a alternativa correta é a letra A) 1/4.