Um exame do tipo teste é composto por 20 questões, cada uma delas com 5 respostas alternativas das quais apenas uma é correta. Calcule a probabilid...

Para calcular a probabilidade de um aluno acertar as questões de um exame do tipo teste, podemos utilizar a distribuição binomial. a) Para calcular a probabilidade de que um aluno não acerte nenhuma questão, podemos utilizar a fórmula da distribuição binomial: P(X = 0) = C(20, 0) * (1/5)^0 * (4/5)^20 Onde C(20, 0) é o número de combinações de 20 questões escolhidas 0 vezes, (1/5)^0 é a probabilidade de acertar uma questão, elevada a 0, e (4/5)^20 é a probabilidade de errar uma questão, elevada a 20. Resolvendo a expressão, temos: P(X = 0) = 1 * 1 * 0,0115 P(X = 0) = 0,0115 Portanto, a probabilidade de um aluno não acertar nenhuma questão é de 1,15%. b) Para calcular a probabilidade de que um aluno acerte exatamente 10 questões, podemos utilizar a mesma fórmula: P(X = 10) = C(20, 10) * (1/5)^10 * (4/5)^10 Onde C(20, 10) é o número de combinações de 20 questões escolhidas 10 vezes, (1/5)^10 é a probabilidade de acertar uma questão, elevada a 10, e (4/5)^10 é a probabilidade de errar uma questão, elevada a 10. Resolvendo a expressão, temos: P(X = 10) = 184756 * 0,00001 * 0,10737 P(X = 10) = 0,020 Portanto, a probabilidade de um aluno acertar exatamente 10 questões é de 0,20%. c) Para calcular a probabilidade de que um aluno acerte mais de 15 questões, podemos somar as probabilidades de acertar 16, 17, 18, 19 ou 20 questões: P(X > 15) = P(X = 16) + P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19) + P(X = 20) Podemos utilizar a fórmula da distribuição binomial para cada uma dessas probabilidades: P(X = 16) = C(20, 16) * (1/5)^16 * (4/5)^4 P(X = 17) = C(20, 17) * (1/5)^17 * (4/5)^3 P(X = 18) = C(20, 18) * (1/5)^18 * (4/5)^2 P(X = 19) = C(20, 19) * (1/5)^19 * (4/5)^1 P(X = 20) = C(20, 20) * (1/5)^20 * (4/5)^0 Resolvendo cada uma dessas expressões, temos: P(X = 16) = 4845 * 0,00000001 * 0,16777216 P(X = 16) = 0,000000081 P(X = 17) = 15504 * 0,000000002 * 0,67108864 P(X = 17) = 0,000000021 P(X = 18) = 38760 * 0,00000000032 * 0,268435456 P(X = 18) = 0,000000003 P(X = 19) = 77520 * 0,000000000064 * 0,1073741824 P(X = 19) = 0,000000001 P(X = 20) = 15504 * 0,000000000001 * 0,4294967296 P(X = 20) = 0,000000000 Somando essas probabilidades, temos: P(X > 15) = 0,000000081 + 0,000000021 + 0,000000003 + 0,000000001 + 0,000000000 P(X > 15) = 0,000000106 Portanto, a probabilidade de um aluno acertar mais de 15 questões é de 0%.