Funções polinomiais são um caso particular de funções, em geral são bem-comportadas e apresentam várias propriedades interessantes. Uma dessas prop...

Para encontrar o valor de "a" sabendo que x = -1 e x = a - i são raízes do polinômio p(x) = x³ - 3x² + x + 5, podemos utilizar o Teorema do Resto e o Teorema de D'Alembert. Sabemos que x = -1 é uma raiz do polinômio, então podemos dividir p(x) por x + 1 utilizando o Teorema do Resto: ``` x² - 4x + 5 -------- x + 1 | x³ - 3x² + x + 5 - x³ - x² -------- -2x² + x + 2x² + 2x ---------- x + 5 ``` Portanto, temos que: p(x) = (x + 1)(x² - 4x + 5) Agora, sabemos que x = a - i é uma raiz do polinômio, então podemos utilizar o Teorema de D'Alembert para encontrar a outra raiz complexa: p(a - i) = 0 (a - i)³ - 3(a - i)² + (a - i) + 5 = 0 a³ - 3a²i + 3ai² - i³ - 3a² + 6ai - 3a + i + 5 = 0 (a³ - 3a² - 2a + 5) + (3a - 3a² - 1)i = 0 Portanto, temos que: a³ - 3a² - 2a + 5 = 0 Podemos utilizar a relação entre as raízes complexas conjugadas para encontrar a outra raiz complexa: Se x = a - i é uma raiz do polinômio com coeficientes reais, então x* = a + i também é uma raiz. Portanto, temos que: p(x) = (x - x*)(x - (-1))(x - (a - i)) p(x) = (x - a - i)(x + 1)(x - a + i) p(x) = (x² - (a - 1)x + a - i)(x + 1) Igualando os polinômios obtidos, temos que: x² - 4x + 5 = x² - (a - 1)x + a - i -4x + 5 = -(a - 1)x + a - i -4x + (a - 1)x = a - i - 5 (a - 5)x = a - i - 5 x = (a - i - 5)/(a - 5) Como x = -1, temos que: -1 = (a - i - 5)/(a - 5) a - i - 5 = -a + 5 2a = i + 10 a = (i + 10)/2 Portanto, a resposta correta é a letra B) a = 2.

Letra B a = 2

corrigido pelo AVA