Uma função ƒ : R+ → R+ é crescente e satisfaz a seguinte condição: ƒ(3x) = 3ƒ(x), para todo x ∈ R+. Se ƒ(9) = 27, qual o valor de ƒ(1)?

A 1
B 2
C 3
D 4
E 5

Question

Uma função ƒ : R+ → R+ é crescente e satisfaz a seguinte condição: ƒ(3x) = 3ƒ(x), para todo x ∈ R+. Se ƒ(9) = 27, qual o valor de ƒ(1)?

A 1
B 2
C...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, vamos usar a propriedade dada da função $ f $ e a informação que temos.

Sabemos que $ f(3x) = 3f(x) $. Vamos aplicar essa propriedade para encontrar $ f(1) $.

1. Começamos com $ x = 3 $:
   $$
   f(9) = 3f(3)
   $$
   Sabemos que $ f(9) = 27 $, então:
   $$
   27 = 3f(3) \implies f(3) = \frac{27}{3} = 9
   $$

2. Agora, aplicamos a propriedade novamente com $ x = 1 $:
   $$
   f(3) = 3f(1)
   $$
   Substituindo $ f(3) = 9 $:
   $$
   9 = 3f(1) \implies f(1) = \frac{9}{3} = 3
   $$

Portanto, o valor de $ f(1) $ é 3. A alternativa correta é:

C 3

Ed · Answer

Para resolver essa questão, podemos utilizar a propriedade dada na condição da função e aplicá-la de forma iterativa para encontrar o valor de ƒ(1).

Dado que ƒ(9) = 27, podemos usar a propriedade dada: ƒ(3x) = 3ƒ(x).

Vamos substituir x = 3 em ƒ(3x) = 3ƒ(x):
ƒ(9) = 3ƒ(3) = 27

Agora, vamos substituir x = 3 em ƒ(3x) = 3ƒ(x) novamente:
ƒ(27) = 3ƒ(9) = 3 * 27 = 81

Por fim, vamos substituir x = 9 em ƒ(3x) = 3ƒ(x):
ƒ(27) = 3ƒ(9) = 3 * 27 = 81

Portanto, o valor de ƒ(1) é 1.

Assim, a alternativa correta é A) 1.

Ed · Answer

Podemos resolver essa questão utilizando a propriedade da função dada.

Sabemos que ƒ(9) = 27, então podemos utilizar a propriedade da função para encontrar ƒ(3):

ƒ(3) = ƒ(3 x 1) = 3 ƒ(1)

Agora, podemos utilizar novamente a propriedade da função para encontrar ƒ(1):

ƒ(1) = ƒ(3 x 1/3) = 3 ƒ(1/3)

Podemos substituir ƒ(1) na equação anterior e obter:

ƒ(1) = 3 ƒ(1/3)

Agora, podemos utilizar a propriedade da função novamente para encontrar ƒ(1/3):

ƒ(1/3) = ƒ(3 x 1/9) = 3 ƒ(1/9)

Podemos substituir ƒ(1/3) na equação anterior e obter:

ƒ(1) = 3 x 3 ƒ(1/9) = 9 ƒ(1/9)

Podemos continuar esse processo até chegar em ƒ(1/729):

ƒ(1) = 9 ƒ(1/9) = 9 x 9 ƒ(1/81) = 9 x 9 x 9 ƒ(1/729)

Sabemos que ƒ(9) = 27, então podemos utilizar a propriedade da função para encontrar ƒ(3):

ƒ(9) = ƒ(3 x 3) = 3 ƒ(3)

Substituindo ƒ(3) na equação anterior, temos:

27 = 3 x 3 ƒ(1/3)

ƒ(1/3) = 3

Substituindo ƒ(1/3) na equação anterior, temos:

ƒ(1) = 9 x 9 x 9 ƒ(1/729) = 9 x 9 x 9 x 3 = 2187

Portanto, a alternativa correta é a letra E) 2187.

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(PETROBRAS - 2008) Considere que f é uma função definida do conjunto D em R por: ƒ(x) = x² − 4x + 8. Sendo Im a imagem de f, é correto afirmar que, se:

a) Im(ƒ) = [−2, 0]
b) Im(ƒ) = [0, 2]
c) Im(ƒ) = [4, 8]
d) Im(ƒ) = [8, +∞[
e) Im(ƒ) = R

Considere a função bijetora ƒ: [1,+ ∞) → (−∞, 3] definida por ƒ(x) = −x² + 2x + 2 e seja (a, b) o ponto de interseção de ƒ com sua inversa ƒ−1. O valor numérico da expressão a + b é:

A 2
B 4
C 6
D 8
E 9

Considere a função ƒ:[−1, 2] → R, dada por: f(x) = { x², se −1 ≤ x ≤ 0; (x + 1) ÷ 2, se 0 < x ≤ 1; −x + 2, se 1 < x ≤ 2. Nestas condições, é correto afirmar que:

A ƒ é sobrejetora.
B ƒ é injetora.
C ƒ é bijetora.
D Im(ƒ) = [0, 1].
E D(ƒ) = R.

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(PETROBRAS - 2008) Considere que f é uma função definida do conjunto D em R por: ƒ(x) = x² − 4x + 8. Sendo Im a imagem de f, é correto afirmar que, se:a) Im(ƒ) = [−2, 0]b) Im(ƒ) = [0, 2]c) Im(ƒ) = [4, 8]d) Im(ƒ) = [8, +∞[e) Im(ƒ) = R

Considere a função f(x) = 120x ÷ (300−x). Podemos afirmar que o domínio da função f é:A Todo número real x.B Todo número real x, exceto os números positivos.C Todo número real x, exceto x = 300.D Todo número real x, exceto os números negativos.E Todo número real x, exceto x = 0.

Considere a função bijetora ƒ: [1,+ ∞) → (−∞, 3] definida por ƒ(x) = −x² + 2x + 2 e seja (a, b) o ponto de interseção de ƒ com sua inversa ƒ−1. O valor numérico da expressão a + b é:A 2B 4C 6D 8E 9

Considere a função ƒ:[−1, 2] → R, dada por: f(x) = { x², se −1 ≤ x ≤ 0; (x + 1) ÷ 2, se 0 < x ≤ 1; −x + 2, se 1 < x ≤ 2. Nestas condições, é correto afirmar que:A ƒ é sobrejetora.B ƒ é injetora.C ƒ é bijetora.D Im(ƒ) = [0, 1].E D(ƒ) = R.

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b) Im(ƒ) = [0, 2]
c) Im(ƒ) = [4, 8]
d) Im(ƒ) = [8, +∞[
e) Im(ƒ) = R

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A 2
B 4
C 6
D 8
E 9

Considere a função ƒ:[−1, 2] → R, dada por: f(x) = { x², se −1 ≤ x ≤ 0; (x + 1) ÷ 2, se 0 < x ≤ 1; −x + 2, se 1 < x ≤ 2. Nestas condições, é correto afirmar que:

A ƒ é sobrejetora.
B ƒ é injetora.
C ƒ é bijetora.
D Im(ƒ) = [0, 1].
E D(ƒ) = R.