(UFRGS) Um círculo tangencia a reta r, como na fi gura a seguir. O centro do círculo é o ponto (7,2) e a reta r é defi nida pela equação 3x – 4y + ...

Para encontrar a equação do círculo que tangencia a reta r, precisamos encontrar o ponto de tangência. Sabemos que a reta r é perpendicular ao raio que liga o centro do círculo ao ponto de tangência. Portanto, a inclinação da reta r é igual à inclinação do raio que liga o centro do círculo ao ponto de tangência. A inclinação da reta r é dada por 3x - 4y + 12 = 0. Podemos reescrever essa equação na forma y = mx + b, onde m é a inclinação da reta e b é o coeficiente linear. Temos: 3x - 4y + 12 = 0 -4y = -3x - 12 y = (3/4)x + 3 Portanto, a inclinação da reta r é m = 3/4. A inclinação do raio que liga o centro do círculo ao ponto de tangência é o oposto do inverso da inclinação da reta r. Ou seja: m' = -1/m = -4/3 Sabemos que o ponto de tangência está na reta r e é equidistante do centro do círculo. Portanto, podemos encontrar o ponto de tangência usando a equação da reta r e a fórmula da distância entre dois pontos: d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) O centro do círculo é o ponto (7,2). Portanto, temos: d = sqrt((x - 7)^2 + (y - 2)^2) O ponto de tangência está na reta r, portanto podemos substituir y por (3/4)x + 3 na equação acima: d = sqrt((x - 7)^2 + ((3/4)x + 1)^2) Para encontrar o ponto de tangência, precisamos minimizar a distância d. Isso ocorre quando a derivada de d em relação a x é igual a zero: d' = (x - 7) + (3/4)((3/4)x + 1)(3/4) = 0 Resolvendo para x, obtemos: x = 7 - (16/5) x = 23/5 Substituindo x na equação da reta r, obtemos: y = (3/4)(23/5) + 3 y = 29/5 Portanto, o ponto de tangência é (23/5, 29/5). Agora podemos usar as informações do centro do círculo e do ponto de tangência para determinar a equação completa do círculo. A equação geral do círculo é dada por: (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 Onde (a,b) é o centro do círculo e r é o raio. Sabemos que o centro do círculo é (7,2) e o ponto de tangência é (23/5, 29/5). Portanto, o raio é dado por: r = sqrt((23/5 - 7)^2 + (29/5 - 2)^2) r = sqrt(36/25 + 27/25) r = sqrt(63)/5 Substituindo os valores na equação geral do círculo, obtemos: (x - 7)^2 + (y - 2)^2 = (sqrt(63)/5)^2 Simplificando, temos: (x - 7)^2 + (y - 2)^2 = 63/25 Portanto, a alternativa correta é a letra D: (x - 7)^2 + (y - 2)^2 = 36/25