Simplifique a expressão f(1 + h)− f(1)/h, h ≠ 0, para cada uma das seguintes funções (a) f(x) = x^2 + x (b) f(x) = 3x + 5 (c) f(x) = x^3 (d) f(x...

Vamos simplificar a expressão f(1 + h)− f(1)/h para cada uma das funções: (a) f(x) = x^2 + x f(1 + h) = (1 + h)^2 + (1 + h) = 1 + 2h + h^2 + 1 + h = 2h + h^2 + 2 f(1) = 1^2 + 1 = 2 Substituindo na expressão: [f(1 + h) - f(1)]/h = [(2h + h^2 + 2) - 2]/h = (2h + h^2)/h = 2 + h (b) f(x) = 3x + 5 f(1 + h) = 3(1 + h) + 5 = 3h + 8 f(1) = 3(1) + 5 = 8 Substituindo na expressão: [f(1 + h) - f(1)]/h = [(3h + 8) - 8]/h = 3 (c) f(x) = x^3 f(1 + h) = (1 + h)^3 = 1 + 3h + 3h^2 + h^3 f(1) = 1^3 = 1 Substituindo na expressão: [f(1 + h) - f(1)]/h = [(1 + 3h + 3h^2 + h^3) - 1]/h = 3h^2 + 3h + 1 (d) f(x) = sqrt(x + 2) f(1 + h) = sqrt(1 + h + 2) = sqrt(h + 3) f(1) = sqrt(1 + 2) = sqrt(3) Substituindo na expressão: [f(1 + h) - f(1)]/h = [(sqrt(h + 3) - sqrt(3))/h] * [(sqrt(h + 3) + sqrt(3))/(sqrt(h + 3) + sqrt(3))] = (h/[h(sqrt(h + 3) + sqrt(3))]) * [sqrt(h + 3) - sqrt(3)] = 1/[sqrt(h + 3) + sqrt(3)] (e) f(x) = 1/x f(1 + h) = 1/(1 + h) f(1) = 1/1 = 1 Substituindo na expressão: [f(1 + h) - f(1)]/h = [(1/(1 + h)) - 1]/h = -1/(h(1 + h)) (f) f(x) = 1/3x^2 f(1 + h) = 1/[3(1 + h)^2] f(1) = 1/[3(1)^2] = 1/3 Substituindo na expressão: [f(1 + h) - f(1)]/h = [(1/[3(1 + h)^2]) - (1/3)]/h = [-2/(3h(1 + h)^2)]