3. (a) Use diferenciação logaŕıtmica para calcular a derivada de y = 3 √ x+ 1 (x+ 2) √ x+ 3 . (b) Sendo f(x) = log3(x 2 − senx), determine f ′(π...

(a) Para calcular a derivada de y, usamos a diferenciação logarítmica. Primeiro, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados da equação: ln y = ln [3√(x+1) / (x+2)√(x+3)] Em seguida, usamos a regra do quociente para diferenciar ambos os lados em relação a x: 1/y * dy/dx = [1/2(x+1) - 1/2(x+2) + 1/2(x+3)] / [3√(x+1) * (x+2)√(x+3)] Simplificando, temos: dy/dx = y * [1/2(x+1) - 1/2(x+2) + 1/2(x+3)] / [3(x+1)(x+2)(x+3)] Substituindo y pela sua expressão original, temos: dy/dx = [3√(x+1) / (x+2)√(x+3)] * [1/2(x+1) - 1/2(x+2) + 1/2(x+3)] / [3(x+1)(x+2)(x+3)] Simplificando, temos: dy/dx = [√(x+1) - √(x+3)] / [(x+2)√(x+3)(x+1)] (b) Para encontrar f'(π/2), usamos a regra da cadeia. Primeiro, encontramos a derivada de f(x): f(x) = log3(x^2 - sen(x)) f'(x) = 1 / [ln(3) * (x^2 - sen(x))] * [2x - cos(x)] Em seguida, substituímos π/2 em f'(x): f'(π/2) = 1 / [ln(3) * ((π/2)^2 - sen(π/2))] * [2(π/2) - cos(π/2)] Simplificando, temos: f'(π/2) = 1 / [ln(3) * (π^2/4 - 1)] * [π/2 + 0] f'(π/2) = π / [2ln(3)(π^2 - 4)]