3. (a) Use diferenciação logaŕıtmica para calcular a derivada de
y =
3
√
x+ 1
(x+ 2)
√
x+ 3
.
(b) Sendo f(x) = log3(x
2 − senx), determine f ′(π/2).
(a) Use diferenciação logaŕıtmica para calcular a derivada de
y =
3
√
x+ 1
(x+ 2)
√
x+ 3
.
(b) Sendo f(x) = log3(x
2 − senx), determine f ′(π/2).
y =
3
√
x+ 1
(x+ 2)
√
x+ 3
.
(b) Sendo f(x) = log3(x
2 − senx), determine f ′(π/2).
(a) Use diferenciação logaŕıtmica para calcular a derivada de
y =
3
√
x+ 1
(x+ 2)
√
x+ 3
.
(b) Sendo f(x) = log3(x
2 − senx), determine f ′(π/2).
Respostas
Ed 
há 2 anos
(a) Para calcular a derivada de y, usamos a diferenciação logarítmica. Primeiro, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados da equação: ln y = ln [3√(x+1) / (x+2)√(x+3)] Em seguida, usamos a regra do quociente para diferenciar ambos os lados em relação a x: 1/y * dy/dx = [1/2(x+1) - 1/2(x+2) + 1/2(x+3)] / [3√(x+1) * (x+2)√(x+3)] Simplificando, temos: dy/dx = y * [1/2(x+1) - 1/2(x+2) + 1/2(x+3)] / [3(x+1)(x+2)(x+3)] Substituindo y pela sua expressão original, temos: dy/dx = [3√(x+1) / (x+2)√(x+3)] * [1/2(x+1) - 1/2(x+2) + 1/2(x+3)] / [3(x+1)(x+2)(x+3)] Simplificando, temos: dy/dx = [√(x+1) - √(x+3)] / [(x+2)√(x+3)(x+1)] (b) Para encontrar f'(π/2), usamos a regra da cadeia. Primeiro, encontramos a derivada de f(x): f(x) = log3(x^2 - sen(x)) f'(x) = 1 / [ln(3) * (x^2 - sen(x))] * [2x - cos(x)] Em seguida, substituímos π/2 em f'(x): f'(π/2) = 1 / [ln(3) * ((π/2)^2 - sen(π/2))] * [2(π/2) - cos(π/2)] Simplificando, temos: f'(π/2) = 1 / [ln(3) * (π^2/4 - 1)] * [π/2 + 0] f'(π/2) = π / [2ln(3)(π^2 - 4)]
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2. (a) Obtenha uma equação para a reta tangente à curva xy = yx, no ponto em que x = 1.
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5. Através das derivadas, estude o que for importante e faça o gráfico de y = 2x2/9− x2.
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b) limx→∞ (x3 + 2x)2/(2x− 1)3 · (x3 − 1);
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(b) Calcule (g − f)(−2) e (g − f)(5);
(c) Use o item (b) e o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe c ∈ R tal que f(c) = g(c).
a) Calcule limx→5− g2(x)− 25/g(x)− 5;
b) Calcule (g − f)(−2) e (g − f)(5);
c) Use o item (b) e o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe c ∈ R tal que f(c) = g(c).
2. Sabendo-se que f ′(x) = 3x2 e que a reta y = 3x é tangente ao gráfico de f em algum ponto, encontre f(x). Observação: Você poderá encontrar mais de uma função com essas caracteŕısticas.
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