Seja F(R) o espaço vetorial de todas as funções f : R→ R. Considere os seguintes subconjuntos de F(R): S1 = {f ∈ F(R) : f é duas vezes deriváv...

A alternativa correta é a letra (a) apenas S1, S2 e S3 são subespaços de F(R). Para S1 ser um subespaço de F(R), é necessário que ele satisfaça as seguintes condições: - O vetor nulo (função identicamente nula) pertence a S1; - Se f e g pertencem a S1, então f + g também pertence a S1; - Se f pertence a S1 e k é um escalar, então kf pertence a S1. Podemos verificar que S1 satisfaz essas condições: - A função identicamente nula é duas vezes derivável e sua segunda derivada é igual a ela mesma, portanto, a função nula pertence a S1; - Se f e g são duas funções duas vezes deriváveis e suas segundas derivadas são iguais a elas mesmas, então a soma f + g também é duas vezes derivável e sua segunda derivada é igual a (f + g)′′ = f′′ + g′′ = f′ + g′ = (f + g)′, portanto, f + g pertence a S1; - Se f é uma função duas vezes derivável e sua segunda derivada é igual a ela mesma, então kf também é duas vezes derivável e sua segunda derivada é igual a (kf)′′ = k(f′′) = k(f′) = (kf)′, portanto, kf pertence a S1. Para S2 ser um subespaço de F(R), é necessário que ele satisfaça as mesmas condições acima. Podemos verificar que S2 também satisfaz essas condições: - A função identicamente nula é simétrica em relação a qualquer ponto, portanto, a função nula pertence a S2; - Se f e g são duas funções simétricas em relação a qualquer ponto, então a soma f + g também é simétrica em relação a qualquer ponto, portanto, f + g pertence a S2; - Se f é uma função simétrica em relação a qualquer ponto e k é um escalar, então kf também é simétrica em relação a qualquer ponto, portanto, kf pertence a S2. Para S3 ser um subespaço de F(R), é necessário que ele satisfaça as mesmas condições acima. Podemos verificar que S3 também satisfaz essas condições: - A função identicamente nula satisfaz a condição f(−1) + f(1) = 0, portanto, a função nula pertence a S3; - Se f e g são duas funções que satisfazem a condição f(−1) + f(1) = 0, então a soma f + g também satisfaz essa condição, portanto, f + g pertence a S3; - Se f é uma função que satisfaz a condição f(−1) + f(1) = 0 e k é um escalar, então kf também satisfaz essa condição, portanto, kf pertence a S3. Já para S4, podemos encontrar um contraexemplo que mostra que ele não é um subespaço de F(R). Considere as funções f(x) = x e g(x) = 1. Ambas são funções que pertencem a S4, pois são funções cujos valores são números racionais para todo x. No entanto, a soma f + g não pertence a S4, pois (f + g)(x) = x + 1 não é uma função cujos valores são números racionais para todo x. Portanto, S4 não é um subespaço de F(R).