Determine a integral∮C(x+y)dx+(4x+2y+4)dy∮C(x+y)dx+(4x+2y+4)dyem que o o caminho C é dado pela equação do círculo x2 + y2 = 4. 9π 6π 8π 12π 4π

Para resolver essa integral, podemos utilizar o Teorema de Green. Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de (x+y) e (4x+2y+4) em relação a y e x, respectivamente: ∂(x+y)/∂y = 1 ∂(4x+2y+4)/∂x = 4 Agora, podemos aplicar o Teorema de Green: ∮C(x+y)dx+(4x+2y+4)dy = ∬D(4 - 1)dA Onde D é a região delimitada pelo círculo x² + y² = 4. Podemos calcular a área de D utilizando coordenadas polares: A = ∫[0,2π] ∫[0,2] r dr dθ = 4π Substituindo na integral anterior, temos: ∮C(x+y)dx+(4x+2y+4)dy = ∬D(4 - 1)dA = 3A = 12π Portanto, a resposta correta é 12π.