Dados R2= {(x,y)/x,yR} onde as operações de adição e multiplicação estão assim definidas: A: (x1, y1) + (x2, y2 ) = ( x1+ x2, y1 + y2 ), M: (x1 , ...

Para mostrar que R2 é um espaço vetorial, precisamos verificar se ele satisfaz as 10 propriedades que definem um espaço vetorial. 1. Adição é comutativa: (x1, y1) + (x2, y2) = (x2, y2) + (x1, y1) 2. Adição é associativa: (x1, y1) + [(x2, y2) + (x3, y3)] = [(x1, y1) + (x2, y2)] + (x3, y3) 3. Existe um elemento neutro da adição: (x, y) + (0, 0) = (x, y) 4. Existe um elemento oposto da adição: (x, y) + (-x, -y) = (0, 0) 5. Multiplicação por escalar é distributiva em relação à adição de vetores: a[(x1, y1) + (x2, y2)] = a(x1, y1) + a(x2, y2) 6. Multiplicação por escalar é distributiva em relação à adição de escalares: (a + b)(x, y) = a(x, y) + b(x, y) 7. Multiplicação por escalar é associativa: a(b(x, y)) = (ab)(x, y) 8. Existe um elemento neutro da multiplicação por escalar: 1(x, y) = (x, y) 9. O espaço vetorial é fechado em relação à adição: (x1, y1) + (x2, y2) pertence a R2 10. O espaço vetorial é fechado em relação à multiplicação por escalar: a(x, y) pertence a R2 Como todas as 10 propriedades são satisfeitas, podemos concluir que R2 é um espaço vetorial.