Encontre os valores de x e y onde f (x,y) pode ter um máximo ou mínimo relativo: a) f(x,y) = 8 + 4x + 6y +x² - 3 y² b) f(x,y) = 4 + 3x - 2y + x² -5...

Para encontrar os valores de x e y onde f(x,y) pode ter um máximo ou mínimo relativo, é necessário calcular o gradiente de f(x,y) e igualá-lo a zero. Os pontos críticos encontrados serão os candidatos a máximo ou mínimo relativo. a) f(x,y) = 8 + 4x + 6y + x² - 3y² Gradiente de f(x,y): ∇f(x,y) = (2x + 4, 6 - 6y) Igualando a zero: 2x + 4 = 0 x = -2 6 - 6y = 0 y = 1 Portanto, o ponto crítico é (-2,1) e f(x,y) tem um mínimo relativo neste ponto. b) f(x,y) = 4 + 3x - 2y + x² - 5xy + 6y² Gradiente de f(x,y): ∇f(x,y) = (2x + 3 - 5y, -2 + 6y - 5x) Igualando a zero: 2x + 3 - 5y = 0 2x = 5y - 3 x = (5/2)y - (3/2) -2 + 6y - 5x = 0 -2 + 6y - 5[(5/2)y - (3/2)] = 0 -2 + 6y - (25/2)y + (15/2) = 0 (1/2)y = -1/2 y = -1 x = (5/2)(-1) - (3/2) x = -4 Portanto, o ponto crítico é (-4,-1) e f(x,y) tem um máximo relativo neste ponto. c) f(x,y) = x + y - 3x² + 7xy - 4y² Gradiente de f(x,y): ∇f(x,y) = (-6x + 7y + 1, -8y + 7x + 1) Igualando a zero: -6x + 7y + 1 = 0 -6x = -7y - 1 x = (7/6)y + (1/6) -8y + 7x + 1 = 0 -8y + 7[(7/6)y + (1/6)] + 1 = 0 -8y + (49/6)y + (7/6) + 1 = 0 (1/6)y = -2/3 y = -4 x = (7/6)(-4) + (1/6) x = -3 Portanto, o ponto crítico é (-3,-4) e f(x,y) tem um máximo relativo neste ponto.