1.∗ Encontre da TFTD das sequências a seguir. (a) x1(n) = ( 1 2 )n u(n+3), em que u(n) denota o degrau unitário de tempo discreto, (b) x2(n) = { ( ...

(a) Para encontrar a TFTD de x1(n), precisamos aplicar a definição da transformada de Fourier de tempo discreto. Temos: X1(k) = ∑[n=-∞ to ∞] x1(n) exp(-j2πnk/N) Substituindo x1(n) na equação acima, temos: X1(k) = ∑[n=-∞ to ∞] [(1/2)^n u(n+3)] exp(-j2πnk/N) Podemos reescrever a equação acima como: X1(k) = (1/8) ∑[n=-∞ to ∞] [(1/2)^{n+3} u(n+3)] exp(-j2πnk/N) Agora, podemos usar a propriedade de deslocamento no tempo da transformada de Fourier de tempo discreto para obter: X1(k) = (1/8) exp(-j2π3k/N) ∑[n=-∞ to ∞] [(1/2)^{n} u(n)] exp(-j2πnk/N) A soma acima é a transformada de Fourier de tempo discreto da sequência (1/2)^n u(n), que é dada por: ∑[n=-∞ to ∞] [(1/2)^{n} u(n)] exp(-j2πnk/N) = 1/(1-(1/2)exp(-j2πk/N)) Portanto, a TFTD de x1(n) é dada por: X1(k) = (1/8) exp(-j2π3k/N) 1/(1-(1/2)exp(-j2πk/N)) (b) Para encontrar a TFTD de x2(n), podemos usar a propriedade de convolução da transformada de Fourier de tempo discreto. Temos: X2(k) = ∑[n=-∞ to ∞] x2(n) exp(-j2πnk/N) Substituindo x2(n) na equação acima, temos: X2(k) = ∑[n=-∞ to ∞] [(1/2)^n δ(n) + δ(n-2) + δ(n-4) + ...] exp(-j2πnk/N) Podemos reescrever a equação acima como: X2(k) = (1/2)^0 + exp(-j2π2k/N) + exp(-j2π4k/N) + ... Usando a fórmula da soma de uma série geométrica, temos: X2(k) = 1/(1-exp(-j2π2k/N)) Portanto, a TFTD de x2(n) é dada por: X2(k) = 1/(1-exp(-j2π2k/N))