5. (a) Determine a transformada de Fourier de tempo discreto R(ejω) da sequência r(n) = { 1, se 0 ≤ n ≤M 0, caso contrário . (b) Seja o sinal w(n) ...

(a) Para determinar a Transformada de Fourier de Tempo Discreto (TFTD) de R(e^(jω)), precisamos usar a definição da TFTD: R(e^(jω)) = Σ[n=-∞ até +∞] r(n) * e^(-jωn) Substituindo a sequência r(n) na equação acima, temos: R(e^(jω)) = Σ[n=0 até M] 1 * e^(-jωn) Podemos reescrever a soma acima como uma soma geométrica: R(e^(jω)) = 1 + e^(-jω) + e^(-jω2) + ... + e^(-jωM) Para resolver essa soma, podemos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica finita: R(e^(jω)) = (1 - e^(-jω(M+1))) / (1 - e^(-jω)) (b) Para esboçar o sinal w(n), podemos observar que ele é uma janela retangular multiplicada por uma janela de cosseno. A janela retangular é igual a 1 para 0 ≤ n ≤ M e 0 caso contrário. A janela de cosseno é igual a 1 para 0 ≤ n ≤ M e varia suavemente de 0 a 1 para M < n ≤ 2M. Para determinar a TFTD de W(e^(jω)), podemos usar a propriedade da transformada de Fourier de tempo discreto da multiplicação de sinais: W(e^(jω)) = R(e^(jω)) * (1/2π) * Σ[k=-∞ até +∞] δ(ω - 2πk/M) Substituindo a expressão de R(e^(jω)) que encontramos na parte (a), temos: W(e^(jω)) = [(1 - e^(-jω(M+1))) / (1 - e^(-jω))] * (1/2π) * Σ[k=-∞ até +∞] δ(ω - 2πk/M) Podemos simplificar essa expressão usando a propriedade da transformada de Fourier de tempo discreto da função impulso: W(e^(jω)) = [(1 - e^(-jω(M+1))) / (1 - e^(-jω))] * (1/M) Essa é a TFTD de W(e^(jω)) em termos de R(e^(jω)).