Qual é a primitiva da função f(x)=1/(x(x+3))? A ln|x+3|+C B x+C C ln|x|+C D 2ln|x|+C E 2ln|x+3|+C

A primitiva da função f(x) = 1/(x(x+3)) é a alternativa A) ln|x+3|+C. Para resolver a integral indefinida, podemos utilizar a técnica de frações parciais. Primeiro, escrevemos a função como: f(x) = A/x + B/(x+3) Onde A e B são constantes que precisamos determinar. Para isso, fazemos o seguinte: 1/(x(x+3)) = A/x + B/(x+3) 1 = A(x+3) + Bx Substituindo x = 0, temos: 1 = 3A A = 1/3 Substituindo x = -3, temos: 1 = -3B B = -1/3 Assim, temos: f(x) = 1/3 * 1/x - 1/3 * 1/(x+3) Integrando cada termo, temos: ∫(1/3) * 1/x dx - ∫(1/3) * 1/(x+3) dx = (1/3) * ln|x| - (1/3) * ln|x+3| + C = ln|x+3|/3 - ln|x|/3 + C = ln|x+3| - ln|x| + C = ln|x+3|/|x| + C Como a primitiva deve ser única, podemos adicionar uma constante C ao final da expressão. Portanto, a resposta correta é a alternativa A) ln|x+3|+C.