24- (1995-2) a) (1,5 pt) Seja f uma função que satisfaz a f(t + T ) = f(t) para todo t ≥ 0 e para um certo número positivo fixo T ; f é periód...

a) Para mostrar que L{f}(s) = ∫T o e^(-st)f(t)dt/1-e^(-sT), podemos usar a propriedade da transformada de Laplace da função periódica. Se f(t) é uma função periódica com período T, então a transformada de Laplace de f(t) é dada por: L{f}(s) = (1/1-e^(-sT)) ∫T o e^(-st)f(t)dt Substituindo a expressão de f(t) na equação acima, temos: L{f}(s) = (1/1-e^(-sT)) ∫T o e^(-st)sen(t)tdt Podemos integrar por partes, considerando u = sen(t) e dv = e^(-st)dt, o que nos dá du = cos(t)dt e v = (-1/s)e^(-st). Assim, temos: L{f}(s) = (1/1-e^(-sT)) [(-1/s)sen(t)e^(-st)|T o + (1/s) ∫T o e^(-st)cos(t)dt] Integrando por partes novamente, considerando u = cos(t) e dv = e^(-st)dt, temos du = -sen(t)dt e v = (-1/s)e^(-st). Assim, temos: L{f}(s) = (1/1-e^(-sT)) [(-1/s)sen(t)e^(-st)|T o + (1/s^2)cos(t)e^(-st)|T o + (1/s^2) ∫T o e^(-st)sen(t)dt] Substituindo os valores de u e dv na última integral, temos: L{f}(s) = (1/1-e^(-sT)) [(-1/s)sen(t)e^(-st)|T o + (1/s^2)cos(t)e^(-st)|T o + (1/s^2) (-cos(t)e^(-st) + sen(t)e^(-st))/s|T o] Simplificando, temos: L{f}(s) = (1/1-e^(-sT)) [(1/s^2) - (cos(T)e^(-sT))/s^2] b) Para calcular L{f}(s), podemos usar a expressão que encontramos na letra a), substituindo f(t) pela função dada no enunciado: L{f}(s) = (1/1-e^(-sT)) ∫T o e^(-st)sen(t)tdt Lembrando que f(0) = 1, temos que f(t) = sen(t)t para t > 0. Substituindo na equação acima, temos: L{f}(s) = (1/1-e^(-sT)) ∫T o e^(-st)sen(t)tdt L{f}(s) = (1/1-e^(-sT)) ∫T o e^(-st)f(t)dt L{f}(s) = (1/1-e^(-sT)) ∫T o e^(-st)sen(t)t dt Podemos integrar por partes, considerando u = t e dv = e^(-st)sen(t)dt, o que nos dá du = dt e v = (-1/s)e^(-st)cos(t) + (1/s^2)e^(-st)sen(t). Assim, temos: L{f}(s) = (1/1-e^(-sT)) [(-t/s)e^(-st)cos(t) + (t/s^2)e^(-st)sen(t)|T o + (1/s^2) ∫T o e^(-st)cos(t)dt] Integrando por partes novamente, considerando u = cos(t) e dv = e^(-st)dt, temos du = -sen(t)dt e v = (-1/s)e^(-st). Assim, temos: L{f}(s) = (1/1-e^(-sT)) [(-t/s)e^(-st)cos(t) + (t/s^2)e^(-st)sen(t)|T o + (1/s^2) (-cos(t)e^(-st) + sen(t)e^(-st))/s|T o] Simplificando, temos: L{f}(s) = (1/1-e^(-sT)) [(1/s^2) - (cos(T)e^(-sT))/s^2 - (1/s^2)cos(T) + (1/s)sen(T)] Substituindo T = π, temos: L{f}(s) = (1/1-e^(-sπ)) [(1/s^2) - (cos(π)e^(-sπ))/s^2 - (1/s^2)cos(π) + (1/s)sen(π)] L{f}(s) = (1/1+e^(-sπ)) [(1/s^2) + (1/s)sen(π)] L{f}(s) = (1/1+e^(-sπ)) [(1/s^2) + (π/s)]