12- ( 1-94,sc) Escolha e resolva duas das questões abaixo: (Obs. As soluções podem ser dadas implici-tamente.) (a) Encontre a famı́lia de soluç...

Para resolver a questão (a), podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação. Temos: y′ = y² sec(x) tan(x) y⁻² y′ = sec(x) tan(x) Integrando ambos os lados, temos: - y⁻¹ = ln|cos(x)| + C Multiplicando ambos os lados por -1, temos: y = -1/(ln|cos(x)| + C) Portanto, a família de soluções da EDO y′ = y² sec(x) tan(x) é dada por y = -1/(ln|cos(x)| + C). Para resolver a questão (b), podemos utilizar o método de separação de variáveis novamente. Temos: y′ = 1 + x² - y² - x²y² Separando as variáveis, temos: y′ + y² + x²y² = 1 + x² Podemos utilizar a substituição y = tan(u) para simplificar a equação. Temos: y′ = sec²(u) y² = tan²(u) = sec²(u) - 1 Substituindo na equação original, temos: sec²(u) + (x²sec²(u) - x² - 1) = 1 + x² Simplificando, temos: sec²(u) = x²/(1 - x²) Substituindo de volta, temos: y = tan(u) = ±sqrt(x²/(1 - x²) - 1) Portanto, a família de soluções da EDO y′ = 1 + x² - y² - x²y², y < 1, é dada por y = ±sqrt(x²/(1 - x²) - 1).