Para verificar se os pontos estão alinhados ou se podem formar um triângulo, podemos usar algumas propriedades da geometria analítica. a) Para verificar se os pontos A(-3,5), B(1,1) e C(3,-1) estão alinhados, podemos calcular a inclinação (coeficiente angular) entre os pontos. Se a inclinação entre A e B for igual à inclinação entre B e C, os pontos estão alinhados. A inclinação entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é dada por: \[ m = \frac{y2 - y1}{x2 - x1} \] Calculando as inclinações: - Entre A e B: \[ m_{AB} = \frac{1 - 5}{1 - (-3)} = \frac{-4}{4} = -1 \] - Entre B e C: \[ m_{BC} = \frac{-1 - 1}{3 - 1} = \frac{-2}{2} = -1 \] Como \( m_{AB} = m_{BC} \), os pontos A, B e C estão alinhados. b) Para verificar se os pontos A(-1,3), B(2,4) e C(-4,10) podem ser os vértices de um triângulo, precisamos garantir que não sejam colineares. Podemos usar a mesma abordagem de inclinação ou calcular a área do triângulo formado por esses pontos. A área pode ser calculada pela fórmula: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Substituindo os pontos: \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| -1(4 - 10) + 2(10 - 3) + (-4)(3 - 4) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -1(-6) + 2(7) + (-4)(-1) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 6 + 14 + 4 \right| = \frac{1}{2} \left| 24 \right| = 12 \] Como a área é diferente de zero, os pontos A, B e C não são colineares e, portanto, podem formar um triângulo. Resumindo: a) Os pontos A(-3,5), B(1,1) e C(3,-1) estão alinhados. b) Os pontos A(-1,3), B(2,4) e C(-4,10) podem ser os vértices de um triângulo.