A divisão de um polinômio p(x) por um polinômio g(x) não nulo pode ser realizada por alguns métodos, como, por exemplo, o método geral, também conh...

Para realizar a divisão do polinômio p(x) = 3x³ + 21x² + 6x pelo polinômio g(x) = x² + 7x + 2, podemos utilizar o método da chave. Começamos dividindo o termo de maior grau de p(x) pelo termo de maior grau de g(x), ou seja, 3x³ ÷ x² = 3x. Esse resultado é o primeiro termo do quociente q(x). Em seguida, multiplicamos o polinômio g(x) pelo resultado obtido, ou seja, 3x(x² + 7x + 2) = 3x³ + 21x² + 6x. Subtraímos esse resultado de p(x), obtendo o polinômio -15x² + 0x. Dividimos esse polinômio pelo polinômio g(x), ou seja, -15x² ÷ x² = -15. Esse resultado é o segundo termo do quociente q(x). Multiplicamos o polinômio g(x) pelo resultado obtido, ou seja, -15(x² + 7x + 2) = -15x² - 105x - 30. Subtraímos esse resultado de -15x² + 0x, obtendo o polinômio 105x + 30. Dividimos esse polinômio pelo polinômio g(x), ou seja, 105x ÷ x² = 105x/x² = 105/x. Esse resultado é o terceiro termo do quociente q(x). Multiplicamos o polinômio g(x) pelo resultado obtido, ou seja, 105/x(x² + 7x + 2) = 105x + 735/x + 210/x². Subtraímos esse resultado de 105x + 30, obtendo o polinômio -705/x - 210/x². Como o grau desse polinômio é menor do que o grau de g(x), esse é o resto r(x). Portanto, a alternativa correta é a letra E: q(x) = 3x + 1 e r(x) = -705/x - 210/x².