O desenvolvimento de funções em séries de potências tem diversas aplicações, tal como a resolução de equações diferenciais. Pode-se também aplicar ...

Para encontrar o 4º termo da série de Taylor da função f(x) = (1+x)^(-1/2) em torno de a = 0, podemos utilizar a fórmula geral da série de Taylor: f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... Começando com a função f(x) = (1+x)^(-1/2), temos: f(a) = f(0) = (1+0)^(-1/2) = 1 f'(x) = (-1/2)(1+x)^(-3/2) f'(a) = f'(0) = (-1/2)(1+0)^(-3/2) = -1/2 f''(x) = (3/4)(1+x)^(-5/2) f''(a) = f''(0) = (3/4)(1+0)^(-5/2) = 3/4 f'''(x) = (-15/8)(1+x)^(-7/2) f'''(a) = f'''(0) = (-15/8)(1+0)^(-7/2) = -15/8 Substituindo esses valores na fórmula geral da série de Taylor, temos: f(x) = 1 - (1/2)x + (3/8)x^2 - (5/16)x^3 + ... O 4º termo da série é dado por (5/16)x^3, portanto a alternativa correta é a letra D) 5x^3/48.