seja f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{R} uma função tal que f(x+y)=f(x)f(y), para quaisquer x,y\in \mathbb{Q}^+. Prove que f(x)=[f(1)]^x para todo...

Para provar que f(x)=[f(1)]^x para todo x\in \mathbb{Q}^+, podemos usar indução matemática. 1) Caso base: Para x=1, temos f(1)=[f(1)]^1, que é verdadeiro. 2) Hipótese de indução: Suponha que f(k)=[f(1)]^k é verdadeiro para algum k\in \mathbb{Q}^+. 3) Passo de indução: Vamos provar que f(k+1)=[f(1)]^(k+1) é verdadeiro. Temos: f(k+1) = f(k+1-1) * f(1) (usando a propriedade da função dada) f(k+1) = f(k) * f(1) (substituindo k+1 por k) f(k+1) = [f(1)]^k * f(1) (usando a hipótese de indução) f(k+1) = [f(1)]^(k+1) (simplificando) Portanto, f(x)=[f(1)]^x para todo x\in \mathbb{Q}^+.