Para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função \( f(x,y) = \sin(x) \cos(x) \cdot y \), vamos calcular \( \frac{\partial f}{\partial x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} \). 1. Derivada parcial em relação a \( x \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (\sin(x) \cos(x) \cdot y) = y \cdot \frac{\partial}{\partial x} (\sin(x) \cos(x)) \] Usando a regra do produto: \[ \frac{\partial}{\partial x} (\sin(x) \cos(x)) = \cos(x) \cos(x) - \sin(x) \sin(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \] Portanto: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = y \cdot (\cos^2(x) - \sin^2(x)) \] 2. Derivada parcial em relação a \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \sin(x) \cos(x) \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\cos(x) \cdot \cos(y)}{(\cos(y))^2}, \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{2y \cdot \sin(x)}{(\cos(y))^2} \) - Não está correta. b) \( \frac{\partial f}{\partial x} = \cos(x) \cdot \sin(y) - \sin(x) + \frac{y \sin(x)}{(\cos(x) \cdot y)^2}, \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{\sin(x)}{(\cos(x) \cdot y)^2} \) - Não está correta. c) \( \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\cos(x) \cdot \cos(y)}{(\cos(y))^2}, \frac{\partial f}{\partial y} = \sin(x) \cdot \left(-\frac{\sin(y)}{(\cos(y))^2}\right) \) - Não está correta. d) \( \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\sin(x) \cdot \sin(y)}{(\cos(y))^2}, \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{\sin(x) \cdot \sin(y)}{(\cos(y))^2} \) - Não está correta. Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde às derivadas parciais corretas que encontramos. Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas.