No plano π: x + 2y − z = 5 considere as seguintes operações: (x, y, z) + (x', y', z'):= (x + x'− 2, y + y'− 2,z + z'− 1) λ (x,y, z):= (λ x + (2 − 2...

Para verificar se o plano π é um espaço vetorial, precisamos verificar se ele satisfaz as 10 propriedades de um espaço vetorial. 1. Adição é comutativa: (x, y, z) + (x', y', z') = (x' + x - 2, y' + y - 2, z' + z - 1) = (x + x' - 2, y + y' - 2, z + z' - 1) = (x, y, z) + (x', y', z') 2. Adição é associativa: ((x, y, z) + (x', y', z')) + (x'', y'', z'') = (x + x' - 2 + x'' - 2, y + y' - 2 + y'' - 2, z + z' - 1 + z'' - 1) = (x + x' + x'' - 4, y + y' + y'' - 6, z + z' + z'' - 2) = (x + (x' + x'' - 2), y + (y' + y'' - 2), z + (z' + z'' - 1)) = (x, y, z) + ((x', y', z') + (x'', y'', z'')) 3. Existe um vetor nulo: (0, 0, 0) é o vetor nulo, pois (x, y, z) + (0, 0, 0) = (x + 0 - 2, y + 0 - 2, z + 0 - 1) = (x, y, z) 4. Existe um inverso aditivo: Para cada vetor (x, y, z), existe um vetor (-x + 2, -y + 2, -z + 1) que é o inverso aditivo, pois (x, y, z) + (-x + 2, -y + 2, -z + 1) = (0, 0, 0) 5. Multiplicação por escalar é distributiva em relação à adição vetorial: λ((x, y, z) + (x', y', z')) = λ(x + x' - 2, y + y' - 2, z + z' - 1) = (λx + (2 - 2λ) + λx' + (2 - 2λ) - 2, λy + (2 - 2λ) + λy' + (2 - 2λ) - 2, λz + (1 - λ) + λz' + (1 - λ) - 1) = λ(x, y, z) + λ(x', y', z') 6. Multiplicação por escalar é distributiva em relação à multiplicação por escalar: (λμ)(x, y, z) = λ(μx + (2 - 2μ), μy + (2 - 2μ), μz + (1 - μ)) = λ(μx, μy, μz) + λ(2 - 2μ, 2 - 2μ, 1 - μ) = λ(μx, μy, μz) + λ(2, 2, 1) - λ(2μ, 2μ, μ) = λ(μx, μy, μz) + μ(λx, λy, λz) - 2(λ, λ, 0) - 2(λ, λ, 0) - (λ, λ, -λ) = λ(x, y, z) + μ(x, y, z) + (-2λ - 2λ + λ, -2λ - 2λ + λ, -λ) = λ(x, y, z) + μ(x, y, z) + (-3λ, -3λ, -λ) 7. Multiplicação por escalar é associativa: (λμ)(x, y, z) = λ(μx + (2 - 2μ), μy + (2 - 2μ), μz + (1 - μ)) = λμx + λ(2 - 2μ) + (2 - 2λ) = λ(μx + (2 - 2μ)) + (2 - 2λ) = λ((μx + (2 - 2μ), μy + (2 - 2μ), μz + (1 - μ))) = λ(λμ)(x, y, z) 8. Existe um escalar multiplicativo unitário: 1(x, y, z) = (x, y, z) 9. Multiplicação por escalar é distributiva em relação à adição escalar: (λ + μ)(x, y, z) = ((λ + μ)x + (2 - 2(λ + μ)), (λ + μ)y + (2 - 2(λ + μ)), (λ + μ)z + (1 - (λ + μ))) = λ(x, y, z) + μ(x, y, z) 10. Multiplicação por escalar é distributiva em relação à adição escalar: λ(x, y, z) + λ'(x, y, z) = (λx + (2 - 2λ), λy + (2 - 2λ), λz + (1 - λ)) + (λ'x + (2 - 2λ'), λ'y + (2 - 2λ'), λ'z + (1 - λ')) = (λx + λ'x + (2 - 2λ - 2λ'), λy + λ'y + (2 - 2λ - 2λ'), λz + λ'z + (1 - λ - λ')) = (λ + λ') (x, y, z) + (2 - 2λ - 2λ', 2 - 2λ - 2λ', 1 - λ - λ') Portanto, o plano π é um espaço vetorial.