A equação do plano tangente ao paraboloide elíptico z = 2x² + y² no ponto (2, 1, 4) é:

Para encontrar a equação do plano tangente ao paraboloide elíptico, podemos utilizar o gradiente. O gradiente é um vetor normal à superfície no ponto em que queremos encontrar o plano tangente. Primeiro, encontramos o gradiente da função z = 2x² + y²: grad(z) = (4x, 2y, -1) Agora, podemos encontrar o vetor normal ao paraboloide no ponto (2, 1, 4): grad(z)(2, 1) = (8, 2, -1) O vetor normal é (8, 2, -1). Para encontrar a equação do plano tangente, usamos a equação geral do plano: ax + by + cz = d Substituindo os valores do ponto (2, 1, 4), temos: 8x + 2y - z = d Substituindo o valor de d, que é encontrado ao substituir o ponto na equação do plano, temos: 8(2) + 2(1) - 4 = 12 Portanto, a equação do plano tangente ao paraboloide elíptico z = 2x² + y² no ponto (2, 1, 4) é: 8x + 2y - z = 12