Use o Teorema 2.4.1 para encontrar um intervalo no qual o problema de valor inicial ty' + 2y = 4t2, y(1) = 2 tem uma (mica solucao.

O Teorema 2.4.1, também conhecido como Teorema da Existência e Unicidade, afirma que, para um problema de valor inicial da forma y' = f(t,y), y(t0) = y0, se f e suas derivadas parciais são contínuas em um retângulo aberto que contém o ponto (t0, y0), então existe um intervalo aberto I contendo t0 e uma única solução y = y(t) para o problema de valor inicial em I. No caso do problema de valor inicial ty' + 2y = 4t^2, y(1) = 2, podemos reescrevê-lo como y' + (2/t)y = 4t, que está na forma y' = f(t,y). Temos que f(t,y) = 4t - (2/t)y, que é contínua em todo o plano (t,y), exceto no eixo t = 0. Como o ponto (1,2) está em um retângulo aberto que contém o ponto (1,2) e f e suas derivadas parciais são contínuas em todo o plano (t,y), exceto no eixo t = 0, podemos aplicar o Teorema 2.4.1 para concluir que existe um intervalo aberto I contendo t0 = 1 e uma única solução y = y(t) para o problema de valor inicial em I. Para encontrar um intervalo no qual o problema de valor inicial tem uma única solução, podemos usar o método de separação de variáveis para obter a solução geral da equação diferencial homogênea associada y' + (2/t)y = 0, que é yh(t) = Ct^(-2), onde C é uma constante arbitrária. Em seguida, podemos usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular yp(t) da equação não homogênea y' + (2/t)y = 4t. Uma solução particular é dada por yp(t) = t^2 - 2t ln(t) + 2t. Portanto, a solução geral do problema de valor inicial é dada por y(t) = Ct^(-2) + t^2 - 2t ln(t) + 2t. Usando a condição inicial y(1) = 2, podemos encontrar o valor de C e obter a solução única do problema de valor inicial. No entanto, não é possível determinar um intervalo específico sem calcular a solução geral e a solução única do problema de valor inicial.