8. Encontre o ponto simétrico P ′ do ponto P = (1, 3,−4) em relação ao plano 3x+ y − 2z = 0.

Para encontrar o ponto simétrico P' em relação ao plano 3x + y - 2z = 0, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar o vetor normal do plano, que é dado pelos coeficientes da equação: n = (3, 1, -2). 2. Encontrar a distância do ponto P ao plano usando a fórmula: d = |(ax + by + cz + d)| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2), onde (a, b, c) é o vetor normal do plano, (x, y, z) é um ponto qualquer do plano e d é o termo independente da equação do plano. Substituindo os valores, temos: d = |(3*1 + 1*3 - 2*(-4) + 0)| / sqrt(3^2 + 1^2 + (-2)^2) = 14 / sqrt(14) = 2*sqrt(14). 3. Encontrar o vetor que liga o ponto P ao plano, que é dado por: v = d * n / |n| = (2*sqrt(14)/sqrt(14)) * (3, 1, -2) = (6, 2, -4). 4. Encontrar o ponto simétrico P' em relação ao plano, que é dado por: P' = P - 2v = (1, 3, -4) - 2*(6, 2, -4) = (-11, -1, 4). Portanto, o ponto simétrico P' é (-11, -1, 4).