1. Sea (G, ∗) un grupo. Demostrar que: (i) El elemento neutro e es único. (ii) Para cada x ∈ G su simétrico x′ es único. (iii) Para cada x ∈ G s...

Para demonstrar as propriedades mencionadas, vamos considerar o grupo (G, ∗) e seguir as demonstrações: (i) Para provar que o elemento neutro e é único, suponha que existam dois elementos neutros e1 e e2 em G. Temos: e1 ∗ e2 = e2 (propriedade do elemento neutro) e1 ∗ e2 = e1 (propriedade do elemento neutro) Portanto, e1 = e2, o que mostra que o elemento neutro é único. (ii) Para provar que o simétrico de cada elemento x ∈ G é único, suponha que existam dois elementos simétricos x' e y' em G. Temos: x ∗ x' = e (propriedade do simétrico) x ∗ y' = e (propriedade do simétrico) Multiplicando a primeira equação por y' à esquerda, temos: y' ∗ (x ∗ x') = y' ∗ e (y' ∗ x) ∗ x' = y' e ∗ x' = y' x' = y' Portanto, o simétrico de cada elemento x ∈ G é único. (iii) Para provar que (x')' = x, suponha x ∈ G. Temos: x ∗ x' = e (propriedade do simétrico) Multiplicando a equação por x' à direita, temos: (x ∗ x') ∗ x' = e ∗ x' x ∗ (x' ∗ x') = x' x ∗ e = x' x = x' Portanto, (x')' = x. (iv) Para provar que (x ∗ y)' = y' ∗ x', suponha x, y ∈ G. Temos: (x ∗ y) ∗ (y' ∗ x') = e (propriedade do simétrico) Multiplicando a equação por (x ∗ y)' à direita, temos: ((x ∗ y) ∗ (y' ∗ x')) ∗ (x ∗ y)' = e ∗ (x ∗ y)' (x ∗ y) ∗ ((y' ∗ x') ∗ (x ∗ y)') = (x ∗ y)' (x ∗ y) ∗ (e ∗ e') = (x ∗ y)' (x ∗ y) ∗ e = (x ∗ y)' x ∗ y = (x ∗ y)' Portanto, (x ∗ y)' = y' ∗ x'. (v) Para provar que todo elemento a de G é regular, ou seja, a ∗ b = a ∗ c ⇒ b = c e b ∗ a = c ∗ a ⇒ b = c, suponha a, b, c ∈ G. Temos: a ∗ b = a ∗ c Multiplicando a equação por a' à direita, temos: (a ∗ b) ∗ a' = (a ∗ c) ∗ a' (a ∗ (b ∗ a')) = (a ∗ (c ∗ a')) (a ∗ e) = (a ∗ e) a = a Portanto, b = c. Analogamente, podemos provar que b ∗ a = c ∗ a ⇒ b = c. Dessa forma, as propriedades (i), (ii), (iii), (iv) e (v) foram demonstradas para o grupo (G, ∗).