Mostre que se o polinômio p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn tem n + 1 raizes distintas, então a0 = a1 = · · · = an = 0. Conclua que todo polinômio ...

Question

Mostre que se o polinômio p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn tem n + 1 raizes distintas, então a0 = a1 = · · · = an = 0. Conclua que todo polinômio (não nulo) de grau n admite no máximo n ráızes.
Demonstre que se o polinômio p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn tem n + 1 raízes distintas, então a0 = a1 = · · · = an = 0.
Conclua que todo polinômio (não nulo) de grau n admite no máximo n raízes.

Ed · Answer

Para mostrar que se o polinômio p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn tem n + 1 raízes distintas, então a0 = a1 = · · · = an = 0, podemos utilizar o fato de que um polinômio de grau n tem no máximo n raízes. Como p(x) tem n + 1 raízes distintas, então p(x) deve ser um polinômio de grau n + 1 com n + 1 raízes distintas. Mas isso é impossível, pois um polinômio de grau n + 1 tem no máximo n + 1 raízes. Portanto, a única possibilidade é que a0 = a1 = · · · = an = 0.

Para concluir que todo polinômio (não nulo) de grau n admite no máximo n raízes, podemos utilizar o fato de que se um polinômio tem uma raiz r, então podemos escrevê-lo na forma p(x) = (x - r)q(x), onde q(x) é um polinômio de grau n - 1. Repetindo esse processo, podemos escrever p(x) na forma p(x) = (x - r1)(x - r2)...(x - rn), onde r1, r2, ..., rn são as raízes de p(x). Como p(x) é um polinômio de grau n, então tem no máximo n raízes distintas.

Mostre que se o polinômio p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn tem n + 1 raizes distintas, então a0 = a1 = · · · = an = 0. Conclua que todo polinômio ...

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