Dizemos que uma matriz AAn×n é diagonalizável se seu operador associado Ta : Rn→Rn for diagonalizável, ou seja, A é diagonalizável se, e soment...

Para verificar se uma matriz é diagonalizável, precisamos verificar se ela possui n autovalores LI (linearmente independentes). a. A=⎡⎣⎢300−330−45−1⎤⎦⎥ Para verificar se essa matriz é diagonalizável, precisamos calcular seus autovalores. O polinômio característico é dado por: det(A - λI) = (3-λ)(-1-λ)(-4-λ) = 0 Logo, os autovalores são λ1 = 3, λ2 = -1 e λ3 = -4. Como existem 3 autovalores distintos, podemos afirmar que a matriz A é diagonalizável. b. A=⎡⎣⎢100210321⎤⎦⎥ O polinômio característico é dado por: det(A - λI) = (1-λ)(1-λ)(3-λ) = 0 Logo, os autovalores são λ1 = 1 e λ2 = 3. Como existem apenas 2 autovalores distintos, não podemos afirmar que a matriz A é diagonalizável. c. A=[1111] O polinômio característico é dado por: det(A - λI) = (1-λ)^4 = 0 Logo, o único autovalor é λ = 1. Como existe apenas 1 autovalor, não podemos afirmar que a matriz A é diagonalizável. d. A=⎡⎣⎢00−1100010⎤⎦⎥ O polinômio característico é dado por: det(A - λI) = λ^3(λ+1) = 0 Logo, os autovalores são λ1 = 0 e λ2 = -1. Como existem apenas 2 autovalores distintos, não podemos afirmar que a matriz A é diagonalizável. e. A=[1011] O polinômio característico é dado por: det(A - λI) = (1-λ)^2(1+λ) = 0 Logo, os autovalores são λ1 = 1 e λ2 = -1. Como existem apenas 2 autovalores distintos, não podemos afirmar que a matriz A é diagonalizável. Portanto, as matrizes diagonalizáveis são a matriz a e nenhuma das outras.