Diagonalização de Matrizes e Operadores

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Diagonalização de operadores
1 – Diagonalização
	Já vimos que uma matriz diagonal tem a seguinte forma:
	Dizemos que um operador (uma transformação, por exemplo) é diagonalizável se existir uma base de autovetores que o torne em uma matriz diagonal.
	 O procedimento para a construção de uma base de autovetores já foi demonstrado. 
	Seu algoritmo é:
	1 – Escrever a matriz na forma A – λ.I;
	2 – Fazer det(A – λ.I) = 0 e achar o polinômio característico;
	3 – Resolver o polinômio e encontrar os autovalores (λ) associados a matriz;
	4 – Para cada autovalor (λ) determinar os autovetores associados.
	As condições para que um operador seja diagonalizável são:
	1ª - Todas as raízes do polinômio característico devem ser reais;
	2ª - O número de autovetores deve ser igual a ordem do espaço em questão.
	Considerando que uma base de autovetores foi encontrada e denominada de matriz M, ao fazermos M-1.A.M obteremos uma matriz diagonal. Matriz diagonal essa formada pelos autovalores associados a matriz A.
	Devemos lembrar que M-1.M = I, o que provavelmente indica a resolução de um sistema linear para a determinação da matriz inversa de M.
	Exemplo 1:
	Seja T: R² → R² a transformação linear, determine a matriz diagonalizável de seus operadores.
	Para achar os autovetores associados aos autovalores, devemos fazer A.v = λ.v para cada autovalor encontrado, e assim:
Polinômio característico
	Para λ = 1:
	Resolvendo o sistema linear encontrado achamos x = y. Ou seja, v = (x, x) com x ≠ 0, ou v = (y, y) com y ≠ 0.
	Para λ = -2:
	Resolvendo o sistema linear encontrado achamos x = 4y. Ou seja, v = (x, x/4) com x ≠ 0, ou v = (4y, y) com y ≠ 0.
	Para λ = 1:
	v = (y, y) é um autovetor, ou seja, v = y.(1, 1) ou 
	Para λ = -2:
	v = (4y, y) é um autovetor, ou seja, v = y.(4, 1) ou 
	Escrevendo M como uma base de autovetores, temos:
	Fazendo M-1.A.M:
	Matriz diagonal = 
a = -1/3
b = 4/3
c = 1/3
d = -1/3
2 – Polinômio minimal
	O polinômio minimal é o menor polinômio (de menor grau) que anula a matriz A.
	Exemplo 2:
	Seja p(x) = x² - 9 e q(x) = 2x + 3 para ,
	qual deles será o polinômio minimal ?
Polinômio
minimal
	O polinômio minimal de um operador linear deve ser de grau menor ou no máximo igual ao do polinômio característico e ainda deve ter as mesmas raízes.
	Como o polinômio minimal é o polinômio de menor grau que anula a matriz, deveremos verificar primeiro o menor deles, se o teste der diferente de zero, testamos o próximo e assim sucessivamente. Na pior das hipóteses ele será igual ao polinômio característico.
	Exercício:
	A partir das matrizes mostradas abaixo, determine seus autovalores e auvetores associados. Além disso indique se seus operadores são diagonalizáveis ou não, em caso positivos comprove-os.