Qual é a distância entre o ponto P (2,-1,2) e o plano π: 2x-2y-z+3=0? A distância entre ponto e plano é dada por uma relação entre a substituição ...

Para encontrar a distância entre o ponto P e o plano π, precisamos calcular a projeção do vetor que liga o ponto P ao plano π no vetor normal do plano. O vetor normal do plano π é dado por (2,-2,-1). O vetor que liga o ponto P ao plano π é dado por (2,-1,2) - (0,0,-3) = (2,-1,5). A projeção do vetor (2,-1,5) no vetor normal do plano é dada por: projN(2,-1,5) = [(2,-1,5) . (2,-2,-1)] / ||(2,-2,-1)||² * (2,-2,-1) onde . representa o produto escalar e || || representa o módulo do vetor. Substituindo os valores, temos: projN(2,-1,5) = [(2,-1,5) . (2,-2,-1)] / ||(2,-2,-1)||² * (2,-2,-1) projN(2,-1,5) = [4 + 2 + (-5)] / (2² + (-2)² + (-1)²) * (2,-2,-1) projN(2,-1,5) = 1/9 * (2,-2,-1) projN(2,-1,5) = (2/9,-2/9,-1/9) A distância entre o ponto P e o plano π é dada pelo módulo do vetor (2,-1,5) - (2/9,-2/9,-1/9), ou seja: d = ||(2,-1,5) - (2/9,-2/9,-1/9)|| d = ||(16/9,-7/9,44/9)|| d = sqrt((16/9)² + (-7/9)² + (44/9)²) d = sqrt(256/81 + 49/81 + 1936/81) d = sqrt(2241/81) d = (47sqrt(3))/9 Portanto, a alternativa correta é a letra b) 5/3.