Para todo número natural n ≥ 2, considere o número N formado por n-1 algarismos iguais a 1, n algarismos iguais a 2 e mais n-1 algarismos iguais a ...

Para encontrar o resto da divisão de N por 7, podemos utilizar o Teorema de Fermat. Esse teorema afirma que, se p é um número primo e a é um número inteiro não divisível por p, então a elevado a (p-1) é congruente a 1 (mod p). No caso de N, podemos escrevê-lo como: N = 111...11222...22333...33 O número de algarismos 1 é n-1, o número de algarismos 2 é n, e o número de algarismos 3 é n-1. Podemos reescrever N como: N = 10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 10^2 + 10 + 2*(10^(n-1) + 10^(n-2) + ... + 10^2 + 10) + 3*(10^(n-2) + ... + 10 + 1) Podemos simplificar essa expressão para: N = (2n-1)*10^(n-1) + (2n-1)*10^(n-2) + ... + (2n-1)*10 + 2*(10^n - 1) + 3*(10^(n-1) - 1) Agora, podemos aplicar o Teorema de Fermat para encontrar o resto da divisão de N por 7. Como 10 é congruente a 3 (mod 7), temos: 10^(n-1) é congruente a 3^(n-1) (mod 7) 10^(n-2) é congruente a 3^(n-2) (mod 7) ... 10 é congruente a 3 (mod 7) Substituindo essas congruências na expressão de N, temos: N é congruente a [(2n-1)*3^(n-1) + (2n-1)*3^(n-2) + ... + (2n-1)*3 + 2*(3^n - 1) + 3*(3^(n-1) - 1)] (mod 7) Podemos simplificar essa expressão para: N é congruente a [2n*3^(n-1) - n - 2] (mod 7) Portanto, o resto da divisão de N por 7 é igual a [2n*3^(n-1) - n - 2] mod 7.