Parte. Transformações 5. Sejam SA e Ss rotações de 180º em torno de A e B, respectivamente. a) Mostre que a composta de S A e S8 é uma translação....

a) Para mostrar que a composta de SA e S8 é uma translação, precisamos provar que a transformação resultante é uma translação e encontrar o vetor de translação. Sabemos que a rotação de 180º em torno de um ponto é equivalente a uma reflexão em relação a uma reta que passa por esse ponto. Portanto, podemos reescrever SA e S8 como reflexões em relação às retas que passam por A e B, respectivamente. A composição de duas reflexões em relação a retas perpendiculares resulta em uma translação. A reta de reflexão resultante é perpendicular à reta original e passa pelo ponto médio entre os pontos de interseção das retas originais com a reta de reflexão. Assim, a composição de SA e S8 é uma translação cujo vetor de translação é o segmento de reta que une os pontos médios das retas de reflexão de SA e S8. b) A relação entre SA o S8 e S8 o SA é que ambas as composições resultam em uma rotação de 360º em torno do ponto médio entre A e B. Isso ocorre porque a composição de duas reflexões em relação a retas paralelas resulta em uma rotação de 180º em torno do ponto médio entre as retas. Portanto, a composição de SA e S8 é equivalente à composição de S8 e SA, e ambas resultam em uma rotação de 360º em torno do ponto médio entre A e B.