40. UFBA Considere as funções reais f e g, tais que: • f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, tem apenas uma raiz real, seu gráfico tem por eixo de simetria ...

A função f(x) = ax² + bx + c tem apenas uma raiz real e seu gráfico tem por eixo de simetria a reta x = 1 e passa pelo ponto (2,1). Logo, a equação f(x) = 0 tem uma única solução, ou seja, o discriminante é igual a zero: b² - 4ac = 0. Como a função tem por eixo de simetria a reta x = 1, temos que o vértice da parábola está nessa reta, ou seja, x = 1. Substituindo x = 2 e y = 1 na equação da parábola, temos que: 1 = a(2)² + b(2) + c 1 = 4a + 2b + c Como a parábola tem apenas uma raiz real, temos que a > 0. Além disso, como o gráfico da função tem por eixo de simetria a reta x = 1, temos que a reta x = 1 é a mediatriz do segmento que une o vértice da parábola ao ponto (2,1). Logo, a coordenada x do vértice é igual a 1, ou seja, -b/2a = 1. Portanto, b = -2a. Substituindo b = -2a e c = 1 - 4a na equação da parábola, temos que: f(x) = ax² - 2ax + 1 - 4a A função g(x) = mx + n e g(f(x)) = -x² + 2x. Substituindo f(x) na expressão de g(f(x)), temos que: g(f(x)) = m(ax² - 2ax + 1 - 4a) + n = -x² + 2x g(f(x)) = amx² - 2amx + m + n - 4am = -x² + 2x Comparando os coeficientes das expressões, temos que: am = -1 -2am = 2 m + n - 4am = 0 Logo, a = 1/m, m = -1/2 e n = 2 - 2a = 0. Portanto, temos que: (01) O gráfico da função h(x) = f(x) é uma parábola com concavidade para cima, vértice no ponto (1, -3a) e corta o eixo x nos pontos (0, 1 - 4a) e (2, 1 - 4a). (02) g^-1(x) = g(x). (04) A equação f(|x|) = 0 tem duas raízes distintas. (08) O conjunto-solução da inequação f(x) - |g(x)| ≥ 0 é ]-∞, 0] ∪ [2, +∞[. (16) A função r(x) = f(g(x)) é crescente para x ≤ 0. Portanto, a soma das alternativas corretas é 1 + 2 + 8 + 16 = 27.