32. ITA-SP O polinômio com coeficientes reais P(x) = x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 tem duas raízes distintas, cada uma delas com multiplicid...

Podemos utilizar o Teorema de Viète para resolver essa questão. Sabemos que as raízes do polinômio são 2, 2, i, -i e outra raiz real, que chamaremos de r. Como as raízes 2 e i têm multiplicidade 2, podemos escrever o polinômio como: P(x) = (x - 2)²(x - i)²(x + i)(x - r) Expandindo essa expressão, temos: P(x) = (x² - 4x + 4)(x² + 1 - 2ix)(x² + 1 + 2ix)(x - r) Multiplicando os fatores, obtemos: P(x) = (x - r)(x² + 1)(x² - 4x + 4)(x² + 4) A soma dos coeficientes é igual ao valor de P(1). Substituindo x = 1, temos: P(1) = (1 - r)(1 + 1)(1 - 4 + 4)(1 + 4) = 8 - 8r Portanto, a soma dos coeficientes é 8 - 8r. Para encontrar o valor de r, podemos usar a relação entre os coeficientes do polinômio e suas raízes: a4 = -(2 + 2 + i + i + r) = -4 - r a3 = (2*2 + 2*2 + 2i*2 + 2i*(-i) + 2i*r + 2*(-i)*r) = 8 - 2r a2 = -(2*2*2 + 2*2*2 + 2*2i*2i + 2*2i*r + 2*2*(-i)*r + i*i*r) = -12 + 2r a1 = (2*2*2*2 + 2*2*2*2 + 2*2*2i*(-i) + 2*2*2i*r + 2*2*(-i)*2i*r) = 16 a0 = -(2*2*2*2*2 + 2*2*2*2*2 + 2*2*2i*(-i)*2 + 2*2*2i*r*(-i) + 2*2*(-i)*2i*r*2) = -32 Igualando a4 a -4 - r, temos: -4 - r = a4 = -a3/2 + 2a2/3 - 2a1/4 + 2a0/5 -4 - r = -4 + 2r/3 + 8 - 8 + 64/5 r = -6/5 Substituindo r na expressão para a soma dos coeficientes, temos: 8 - 8r = 8 - 8*(-6/5) = 64/5 Portanto, a soma dos coeficientes é 64/5, que corresponde à alternativa e).