Determine os autovalores e bases para os auto-espaços correspondentes das matrizes abaixo e determine as multiplicidades algébrica e geométrica de ...

Para encontrar os autovalores e autovetores da matriz A, precisamos resolver a equação característica det(A - λI) = 0, onde I é a matriz identidade e λ é o autovalor. a) A = [ -6 2 ; 3 1 ] det(A - λI) = det([ -6-λ 2 ; 3 1-λ ]) = (-6-λ)(1-λ) - 6 = λ² - 5λ - 12 = (λ - 3)(λ - 4) Portanto, os autovalores são λ1 = 3 e λ2 = 4. Para encontrar os autovetores correspondentes, precisamos resolver o sistema de equações (A - λI)x = 0 para cada autovalor. Para λ1 = 3: (A - 3I)x = [ -9 2 ; 3 -2 ][x1 ; x2] = [ 0 ; 0 ] -9x1 + 2x2 = 0 3x1 - 2x2 = 0 Resolvendo o sistema, obtemos x1 = 2x2/9. Portanto, um autovetor correspondente a λ1 é [ 2 ; 9 ]. Para λ2 = 4: (A - 4I)x = [ -10 2 ; 3 -3 ][x1 ; x2] = [ 0 ; 0 ] -10x1 + 2x2 = 0 3x1 - 3x2 = 0 Resolvendo o sistema, obtemos x1 = x2/3. Portanto, um autovetor correspondente a λ2 é [ 1 ; 3 ]. As multiplicidades algébricas dos autovalores são 1 para λ1 e 1 para λ2. As multiplicidades geométricas são 1 para λ1 e 1 para λ2. b) A = [ -3 0 0 ; 0 -2 0 ; 1 2 1 ] det(A - λI) = det([ -3-λ 0 0 ; 0 -2-λ 0 ; 1 2 1-λ ]) = (-3-λ)(-2-λ)(1-λ) = -λ³ + 4λ² - 5λ + 6 Não é possível encontrar os autovalores dessa matriz por meio de fatoração, portanto, é necessário utilizar métodos numéricos para encontrar as raízes da equação característica.