Determine os autovalores e bases para os auto-espaços correspondentes das matrizes abaixo e determine as multiplicidades algébrica e geométrica de ...

Para encontrar os autovalores e autovetores da matriz A, precisamos resolver a equação característica det(A - λI) = 0, onde I é a matriz identidade e λ é o autovalor. a) A = | -2 1 0 | | 1 1 1 | | 0 2 1 | det(A - λI) = | -2-λ 1 0 | | 1 1-λ 1 | | 0 2 1-λ | =(-2-λ)(1-λ)(1-λ) + 2(1-λ) = -λ³ + 2λ² + 3λ - 2 = -(λ-1)²(λ+2) Portanto, os autovalores são λ1 = 1 (com multiplicidade algébrica 2) e λ2 = -2 (com multiplicidade algébrica 1). Para encontrar as bases dos auto-espaços correspondentes, precisamos resolver o sistema homogêneo (A - λI)x = 0 para cada autovalor. Para λ1 = 1, temos: (A - λ1I)x = 0 | -3 1 0 | | 1 0 1 | | 0 2 0 | RREF: | 1 0 1 | | 0 1 -2 | | 0 0 0 | Portanto, a base do auto-espaço correspondente a λ1 é { (1, 2, 1) } e a multiplicidade geométrica é 1. Para λ2 = -2, temos: (A - λ2I)x = 0 | 0 1 0 | | 1 3 1 | | 0 2 3 | RREF: | 1 0 -1 | | 0 1 0 | | 0 0 0 | Portanto, a base do auto-espaço correspondente a λ2 é { (1, 0, 1) } e a multiplicidade geométrica é 1. b) A = | -2 0 1 | | 2 3 2 | | 1 0 -1 | det(A - λI) = | -2-λ 0 1 | | 2 3-λ 2 | | 1 0 -1-λ | =(-2-λ)(3-λ)(-1-λ) + 2(1+λ) - 2(3-λ) = λ³ - λ² - 7λ + 5 = (λ-1)(λ-5)(λ+1) Portanto, os autovalores são λ1 = 1 (com multiplicidade algébrica 1), λ2 = 5 (com multiplicidade algébrica 1) e λ3 = -1 (com multiplicidade algébrica 1). Para encontrar as bases dos auto-espaços correspondentes, precisamos resolver o sistema homogêneo (A - λI)x = 0 para cada autovalor. Para λ1 = 1, temos: (A - λ1I)x = 0 | -3 0 1 | | 2 2 2 | | 1 0 -2 | RREF: | 1 0 -1/3 | | 0 1 1/3 | | 0 0 0 | Portanto, a base do auto-espaço correspondente a λ1 é { (1, -1, 3) } e a multiplicidade geométrica é 1. Para λ2 = 5, temos: (A - λ2I)x = 0 | -7 0 1 | | 2 -2 2 | | 1 0 -6 | RREF: | 1 0 -1/7 | | 0 1 -1/7 | | 0 0 0 | Portanto, a base do auto-espaço correspondente a λ2 é { (1, 1, 7) } e a multiplicidade geométrica é 1. Para λ3 = -1, temos: (A - λ3I)x = 0 | -1 0 1 | | 2 4 2 | | 1 0 0 | RREF: | 1 0 -1 | | 0 1 1 | | 0 0 0 | Portanto, a base do auto-espaço correspondente a λ3 é { (1, -1, 1) } e a multiplicidade geométrica é 1.