28. PUC-PR Dos anagramas da palavra CASTELO, quantos têm as vogais em ordem alfabética e juntas? A palavra CASTELO tem 7 letras. É necessário enco...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem (PFC) e a análise combinatória. Primeiro, vamos identificar as vogais da palavra CASTELO: A, E, O. Em seguida, vamos organizar essas vogais em ordem alfabética e juntas, ou seja, a letra A deve vir primeiro, seguida da letra E e, por fim, a letra O. Assim, temos que as vogais em ordem alfabética e juntas formam a sequência AEO. Agora, vamos calcular quantos anagramas podemos formar com as 7 letras da palavra CASTELO. Podemos utilizar o PFC para isso, que diz que se temos n elementos e queremos organizá-los em uma sequência de r elementos, então o número de possibilidades é dado por: n! / (n - r)! No nosso caso, temos n = 7 e r = 7, pois queremos organizar todas as letras da palavra. Então, o número de anagramas possíveis é: 7! / (7 - 7)! = 7! / 0! = 7! = 5040 Agora, precisamos contar quantos desses anagramas têm as vogais em ordem alfabética e juntas. Para isso, vamos considerar que as vogais formam uma única letra, ou seja, temos apenas 4 letras para organizar: C, S, T e AEO. Podemos utilizar o PFC novamente para calcular o número de anagramas possíveis com essas 4 letras: 4! / (4 - 4)! = 4! / 0! = 4! = 24 No entanto, ainda precisamos considerar as diferentes permutações das vogais AEO dentro dessa única letra. Como temos 3 vogais, o número de permutações possíveis é 3! = 6. Então, o número de anagramas da palavra CASTELO que têm as vogais em ordem alfabética e juntas é: 24 x 6 = 144 Portanto, a alternativa correta é a letra B) 144.